Alfa-stabiele verdeling

In de kansrekening vormen de α-stabiele verdelingen een familie van continue verdelingen van stochastische variabelen ${\displaystyle X}$ die gekenmerkt worden door de volgende eigenschap. Laat ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},X}$ onderling onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen zijn. Voor alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ is er een ${\displaystyle c_{n}}$, zo, dat

${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}\sim c_{n}X}$

Aangetoond kan worden dat de enige mogelijkheid voor ${\displaystyle c_{n}}$ is: ${\displaystyle c_{n}=n^{1/\alpha }}$ met ${\displaystyle \alpha \in (0,2]}$. Het reële getal ${\displaystyle \alpha }$ wordt de vormparameter genoemd.

De theorie van de stabiele verdelingen is in belangrijke mate beïnvloed door Paul Lévy.

Voorbeelden

Hoewel de stabiele verdelingen voor elke ${\displaystyle \alpha \in ]0,2]}$ welgedefinieerd zijn, is de dichtheid slechts voor enkele specifieke waarden van ${\displaystyle \alpha }$ expliciet gegeven.

• De normale verdeling met verwachtingswaarde 0 is stabiel met vormparameter ${\displaystyle \alpha =2}$, want voor onderling onfhankelijke ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ geldt:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$.

De normale verdeling is overigens de enige stabiele verdeling met vormparameter ${\displaystyle \alpha =2}$.

• Als de onderling onfhankelijke ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ alle standaard-cauchyverdeeld zijn, geldt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\cdot {\rm {Cauchy}}(0,a)}$

De standaard-cauchyverdeling is dus stabiel met vormparameter ${\displaystyle \alpha =1}$.

• De standaard-lévyverdeling is stabiel met ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$.

Literatuur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 2e druk. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Hfdst. 16.