Discontinuïteit

Een functie is discontinu in een punt indien de functie daar niet continu is. Intuïtief betekent dit dat de functie daar niet in één vloeiende lijn getekend kan worden: er is bijvoorbeeld een gat of een sprong. Een meer wiskundige beschrijving is te vinden in het artikel over continuïteit.

Classificatie

Naargelang de aard van de discontinuïteit kunnen we deze als volgt classificeren.

Een ophefbare discontinuïteit

Ophefbare discontinuïteit

Bij een ophefbare discontinuïteit is de functie niet gedefinieerd in een punt, maar de linkerlimiet is er gelijk aan de rechterlimiet. De functie kan continu gemaakt worden door de functiewaarde in het betreffende punt gelijk te stellen aan zijn limietwaarde.

Voorbeeld
f ( x ) = { x 2  als  x < 1 2 − x  als  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ als }}x<1\\2-x&{\mbox{ als }}x>1\end{matrix}}\right.}
De discontinuïteit in x = 1 kan opgeheven worden door f(1) = 1 te stellen.
Een sprong-discontinuïteit

Sprong-discontinuïteit

Bij een sprong-discontinuïteit bestaan linker- en rechterlimiet, maar deze zijn verschillend.

Voorbeeld
f ( x ) = { x 2  als  x < 1 2 − ( x − 1 ) 2  als  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ als }}x<1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ als }}x>1\end{matrix}}\right.}
Nu is er in x = 1 sprake van een sprong-discontinuïteit, deze kan opgeheven worden door in 1 van de vergelijkingen de 'groter dan' of 'kleiner dan' te veranderen in 'groter dan of gelijk aan', respectievelijk 'kleiner dan of gelijk aan'
Een essentiële discontinuïteit

Essentiële discontinuïteit

Bij een essentiële discontinuïteit bestaan linker- en/of rechterlimiet niet of zijn deze oneindig.

Voorbeeld
f ( x ) = { sin ⁡ 5 x − 1  als  x < 1 0.1 x − 1  als  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ als }}x<1\\&\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ als }}x>1\end{matrix}}\right.}
In x = 1 is er nu een essentiële discontinuïteit: de linkerlimiet bestaat niet en de rechterlimiet is oneindig. Merk op dat een van beide volstond om te kunnen spreken van een essentiële discontinuïteit.

Discontinu op een interval

De meeste functies zijn discontinu in bepaalde punten, zoals in de voorbeelden hierboven. Sommige functies zijn echter over een heel interval discontinu.

Een bekend voorbeeld is de Dirichletfunctie. Deze functie is in elk element van zijn domein R {\displaystyle \mathbb {R} } discontinu, omdat er tussen twee rationale getallen steeds een irrationaal getal ligt en omgekeerd:

f ( x ) = { 1  als  x ∈ Q 0  als  x ∉ Q {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ als }}x\in \mathbb {Q} \\0&{\mbox{ als }}x\not \in \mathbb {Q} \end{cases}}}

Voorbeelden

  • Heaviside-functie
  • Entier
  • Tangens

Discrete argumenten en functiewaarden

Als een geldbedrag een functie is van andere geldbedragen, zoals bij een belastingtarief, dan geldt meestal dat met discrete bedragen wordt gerekend, bijvoorbeeld in hele centen of hele euro's. Formeel wiskundig is zo'n functie altijd continu. Toch kan zo'n functie praktisch gezien discontinu zijn, in de zin dat een verschil van één euro in een onafhankelijke variabele vele euro's verschil maakt in de functiewaarde (eventueel samengaand met een strikte daling van de functie die logischerwijs niet-dalend zou moeten zijn, of omgekeerd, of die een marginaal tarief van meer dan 100% geeft waar dat onlogisch is). Zo'n abrupte overgang wordt wel een harde knip genoemd. Vaak is een financiële functie echter op niet gekunstelde wijze te schrijven als de restrictie tot discrete bedragen van de afronding van een interpolerende reële functie op een reëel domein, waarbij een discontinuïteit van de reële functie correspondeert met een harde knip.