Nilpotente matrix

In de lineaire algebra heet een vierkante matrix nilpotent als de matrix enige malen met zichzelf vermenigvuldigd de nulmatrix oplevert.

Definitie

De ${\displaystyle n\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ heet nilpotent met index ${\displaystyle s}$ als

${\displaystyle A^{s}=0}$ en ${\displaystyle A^{s-1}\neq 0}$.

Eigenschappen

• De index ${\displaystyle s}$ van een nilpotente ${\displaystyle n\times n}$-matrix is kleiner of gelijk aan ${\displaystyle n}$
• De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn alle gelijk aan 0.
• Omgekeerd geldt ook dat een matrix waarvan alle eigenwaarden gelijk zijn aan 0, nilpotent is.
• De determinant en het spoor van een nilpotente matrix zijn 0.
• Een nilpotente matrix is niet inverteerbaar;
• Een bovendriehoeksmatrix of benedendriehoeksmatrix, waarvan de elementen op de hoofddiagonaal 0 zijn, is nilpotent.

Voorbeelden

Voor de matrix ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ geldt: ${\displaystyle A^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$, dus ${\displaystyle A}$ is nilpotent met index 2

Voor de matrix ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&1&7\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ geldt: ${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ en ${\displaystyle B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$, dus ${\displaystyle B}$ is nilpotent met index 3.