Stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch (HRR), vernoemd naar Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann, en Gustav Roch, het resultaat van Hirzebruch uit 1954, dat heeft bijgedragen aan de stelling van Riemann-Roch voor complexe algebraïsche variëteiten van alle dimensies. Het was de eerste succesvolle veralgemening van de klassieke stelling van Riemann-Roch op Riemann-oppervlaken naar alle hogere dimensies, en baande de weg voor de stelling van Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, die drie jaar later werd bewezen.

Formulering van de stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch

De stelling van Hirzebruch-Riemann-Roch geldt voor elke holomorfe vectorbundel ${\displaystyle E}$ op een compacte complexe variëteit ${\displaystyle X}$, om de holomorfe Euler-karakteristiek van ${\displaystyle E}$ in de schoofcohomologie te berekenen, te weten de alternerende som

${\displaystyle \chi (X,E)=\dim H^{0}(X,E)-\dim H^{1}(X,E)+\dim H^{2}(X,E)-\cdots }$

van de dimensies als complexe vectorruimten. Door fundamentele resultaten op het gebied van coherente cohomologie zijn deze dimensies alle eindig, en zijn zij 0, behalve voor de eerste ${\displaystyle 2n+1}$ gevallen, waar ${\displaystyle X}$ een complexe dimensie ${\displaystyle n}$ heeft; de som is dus eindig.

Referenties

• (en) Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry (Topologische methoden in de algebraïsche meetkunde), ISBN 3-540-58663-6