Tripolaire coördinaten

Tripolaire coördinaten zijn coördinaten voor het platte vlak ten opzichte van een gegeven driehoek. De tripolaire coördinaten van een punt ${\displaystyle P}$ worden gevormd door het drietal ${\displaystyle (AP,BP,CP)}$, maar tripolaire coördinaten worden maar weinig gebruikt.^[1]

Relatie met lengtes zijden

Leonhard Euler heeft de volgende relatie aangetoond tussen tripolaire coördinaten ${\displaystyle (f,g,h)}$ van een punt en de lengtes van de zijden ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle (-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}+c^{2})^{2}h^{2}-(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}+c^{2})-4f^{2}g^{2}h^{2}=0}$

Cirkels en lijnen

De vergelijking ${\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0}$, is een lijn als ${\displaystyle l+m+n=0}$ en anders een cirkel.

• Als de vergelijking een cirkel is, dan heeft het middelpunt van de cirkel barycentrische coördinaten ${\displaystyle (l:m:n)}$.
• Als de vergelijking een lijn is, dan staat deze lijn loodrecht op de lijn ${\displaystyle [\ l:m:n\ ]}$ in barycentrische coördinaten.

Gegeven verhouding

Het aantal punten dat tripolaire coördinaten ${\displaystyle (f,g,h)}$ heeft, die aan een gegeven verhouding ${\displaystyle f:g:h=x:y:z}$ voldoen, is er afhankelijk van of de getallen ${\displaystyle ax,by}$ en ${\displaystyle cz}$:

• de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er twee dergelijke punten,
• de zijden vormen van een ontaarde driehoek, dan is er een zo'n punt,
• niet de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er geen punten die aan de voorwaarde voldoen.