Symmetrisk matrise

Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet.

Ei symmetrisk matrise er ei matrise som er lik transponeringa si. Formelt er ei matrise M symmetrisk hvis og bare hvis ${\displaystyle M=M^{T}}$. Bare kvadratmatriser, altså matriser med like mange kolonner som rader, kan være symmetriske.

Eksempel

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}}$

Matrisa M er symmetrisk siden ${\displaystyle M=M^{T}}$.

Følgende matrise A vil derimot ikke være symmetrisk:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&2\\3&4&5\\3&1&6\end{pmatrix}},~~A^{T}={\begin{pmatrix}1&3&3\\2&4&1\\2&5&6\end{pmatrix}},~~A\neq A^{T}.}$

Egenskaper

Ei reell symmetrisk matrise har noen spesielle egenskaper utover ei vanlig matrise. Følgende egenskaper følger fra spektralteoremet for symmetriske matriser

• Egenvektorer tilhørende forskjellige egenverdier er ortogonale
• Det vil være n reelle egenverdier gitt at matrisa er av dimensjon n x n.
• Dimensjonen av egenrommet for en egenverdi ${\displaystyle \lambda }$ er det samme som multiplisiteten av rota ${\displaystyle \lambda }$ i det karakteristiske polynomet
• Ei symmetrisk matrise vil alltid være diagonaliserbar