Funkcja Cobba-Douglasa

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł od 2014-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja Cobba-Douglasa − przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcja produkcji. Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928 roku.

Oryginalnie sformułowana jako funkcja powyższych dwóch zmiennych:

F ( K , L ) = a K α L β , K , L ⩾ 0 , {\displaystyle F(K,L)=aK^{\alpha }L^{\beta },K,L\geqslant 0,}

gdzie:

K {\displaystyle K} – nakład kapitału,
L {\displaystyle L} – nakład pracy potrzebny do wytworzenia Y = F ( K , L ) {\displaystyle Y=F(K,L)} jednostek produktu,
a {\displaystyle a} – parametr skalujący.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.

W klasycznej funkcji Cobba-Douglasa α + β = 1 {\displaystyle \alpha +\beta =1} [a], co skutkuje brakiem efektów skali (wzrost K {\displaystyle K} i L {\displaystyle L} o 100% spowoduje wzrost Y {\displaystyle Y} także o 100%). Założenie to jest postulatem części makroekonomistów, argumentujących, że z jednej strony w całej gospodarce nie ma niekorzyści skali, bo zakłady pracy można po prostu kopiować, z drugiej jednak strony istnieje wiele zakładów pracy, które osiągnęły już optymalną wielkość.

Zdjęcie ostatniego założenia daje funkcję typu Cobba-Douglasa. W przypadku α + β > 1 {\displaystyle \alpha +\beta >1} mamy korzyści skali, w odwrotnym przypadku są ujemne skutki skali.

W uogólnieniu funkcja Cobba-Douglasa – to funkcja wielu zmiennych wyrażająca się wzorem:

F ( X 1 , X 2 , … , X N ) = a ∏ i = 1 N X i α i {\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})=a\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}}

określona dla X 1 , X 2 , … , X N ⩾ 0. {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{N}\geqslant 0.}

Funkcja posiada następujące własności:

  1. jest nieujemna,
  2. jest rosnąca,
    a gdy ∑ i = 1 N α i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\alpha _{i}}=1}
  3. funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, tj. ∀ z > 0 : F ( z X 1 , z X 2 , … , z X N ) = z F ( X 1 , X 2 , … , X N ) , {\displaystyle \forall z>0:F(zX_{1},zX_{2},\dots ,zX_{N})=zF(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N}),}

co daje stałe przychody względem skali produkcji.

Uwagi

  1. ↑ Nie jest to jednak warunek konieczny. Jeśli α + β ≠ 1 , {\displaystyle \alpha +\beta \neq 1,} wystarczy rozważyć funkcję
    f ( z ) = z 1 α + β . {\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}.}
    Funkcja f {\displaystyle f} jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz
    F 1 ( K , L ) = f ( F ( K , L ) ) = a K α α + β L β α + β . {\displaystyle F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}.}
    Ponadto suma wykładników daje jedynkę:
    α α + β + β α + β = 1. {\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1.}
Encyklopedia internetowa (Funkcja produkcji):
  • Britannica: topic/Cobb-Douglas-function