Funkcja harmoniczna

Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a^[1]:

${\displaystyle \Delta f\equiv 0,}$

gdzie ${\displaystyle \Delta }$ jest operatorem Laplace’a.

Poniżej piszemy ${\displaystyle A\Subset \Omega ,}$ gdy ${\displaystyle {\overline {A}}\subseteq \Omega }$ oraz oznaczamy ${\displaystyle B^{n}(x,r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ kulę środku ${\displaystyle x}$ i promieniu ${\displaystyle r,}$ a ${\displaystyle S^{n-1}(x,r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ oznaczamy przez ${\displaystyle |{\mathcal {A}}|.}$

Funkcje sub- i superharmoniczne

Funkcję ${\displaystyle u}$ nazywamy subharmoniczną, gdy ${\displaystyle \Delta u\geqslant 0}$ oraz superharmoniczną, gdy ${\displaystyle \Delta u\leqslant 0.}$

Własność wartości średniej

Niech ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega ),x\in \Omega ,r>0,B(x,r)\Subset \Omega }$ oraz ${\displaystyle u}$ harmoniczna w ${\displaystyle \Omega .}$ Wówczas:

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},}$

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.}$

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

${\displaystyle u(x)\leqslant {\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},}$

${\displaystyle u(x)\leqslant {\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.}$

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych

Niech ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ będzie otwarty, ograniczony i spójny, ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )}$ oraz u subharmoniczna w ${\displaystyle \Omega .}$ Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in \Omega ,}$ tj. ${\displaystyle \sup _{x\in \Omega }{u(x)}=u(x_{0})=M.}$ Wówczas ${\displaystyle u(x)\equiv M}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \Omega .}$

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu ${\displaystyle \Omega .}$ Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru ${\displaystyle \Omega .}$

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej

Funkcję ${\displaystyle u\colon {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$ nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli ${\displaystyle B\Subset {\mathcal {U}}}$ i każdej funkcji harmonicznej ${\displaystyle h\colon B\to \mathbb {R} }$ ciągłej na ${\displaystyle {\overline {B}}}$ i takiej, że ${\displaystyle u\vert _{\partial B}\leqslant h\vert _{\partial B}}$ spełnione jest ${\displaystyle u\leqslant h}$ na całej kuli ${\displaystyle B.}$

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy ${\displaystyle C^{2}}$ obie definicje są równoważne.

Przykłady

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

${\displaystyle \Gamma (x-y)={\begin{cases}{\frac {1}{(2-n)|S^{n-1}(0,1)|}}|x-y|^{2-n}&n>2\\{\frac {1}{2\pi }}{\log {|x-y|}}&n=2\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle n}$ oznacza wymiar przestrzeni. Dla ${\displaystyle x\neq y}$ mamy ${\displaystyle \Delta \Gamma (x-y)=0.}$

Zobacz też

• nierówność Harnacka
• równanie Poissona
• twierdzenie Harnacka

Przypisy

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, Warszawa.
• Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, Łódź.