Odwzorowanie styczne

"If a map, φ, carries every point on manifold M to manifold N then the pushforward of φ carries vectors in the tangent space at every point in M to a tangent space at every point in N."
Jeżeli φ {\displaystyle \varphi } jest funkcją z rozmaitości M {\displaystyle M} w rozmaitość N , {\displaystyle N,} to odwzorowanie styczne funkcji φ {\displaystyle \varphi } przeprowadza wektory z przestrzeni stycznej T x M {\displaystyle T_{x}M} rozmaitości M {\displaystyle M} w przestrzeń styczną T φ ( x ) N {\displaystyle T_{\varphi (x)}N} rozmaitości N . {\displaystyle N.}

Odwzorowanie styczne – uogólnienie pochodnej funkcji wielu zmiennych na rozmaitości różniczkowe.

Odwzorowanie styczne w punkcie

Niech M {\displaystyle M} i N {\displaystyle N} będą rozmaitościami różniczkowymi klasy C k , {\displaystyle C^{k},} k ⩾ 1 , {\displaystyle k\geqslant 1,} wymiaru odpowiednio m {\displaystyle m} i n . {\displaystyle n.} Niech F : M → N {\displaystyle F\colon M\to N} będzie funkcją klasy C k . {\displaystyle C^{k}.}

Odwzorowaniem styczym do F {\displaystyle F} w punkcie p ∈ M {\displaystyle p\in M} nazywamy odwzorowanie między przestrzeniami stycznymi rozmaitości M {\displaystyle M} i N , {\displaystyle N,} d p F : T p ( M ) → T F ( p ) ( N ) , {\displaystyle d_{p}F\colon T_{p}(M)\to T_{F(p)}(N),} zdefiniowane wzorem:

d p F ( γ ′ ( 0 ) ) = ( F ∘ γ ) ′ ( 0 ) {\displaystyle d_{p}F(\gamma '(0))=(F\circ \gamma )'(0)}

gdzie γ ′ ( 0 ) {\displaystyle \gamma '(0)} oznacza wektor styczny do krzywej γ {\displaystyle \gamma } przechodzącej przez punkt p , {\displaystyle p,} czyli klasę abstrakcji krzywej γ , {\displaystyle \gamma ,} względem relacji ∼ {\displaystyle \sim } z definicji przestrzeni stycznej.

Komentarz

Odwzorowanie styczne w ustalonym punkcie jest odwzorowaniem liniowym i jest zwane różniczką funkcji F {\displaystyle F} w punkcie p . {\displaystyle p.}

Odwzorowanie styczne

Odwzorowaniem styczym do F {\displaystyle F} nazywamy odwzorowanie między wiązkami stycznymi rozmaitości M {\displaystyle M} i N , {\displaystyle N,} T F : T ( M ) → T ( N ) , {\displaystyle TF\colon T(M)\to T(N),} zdefiniowane wzorem:

T F ( p , X ) = ( F ( p ) , d p F ( X ) ) {\displaystyle TF(p,X)=(F(p),d_{p}F(X))}

gdzie p ∈ M {\displaystyle p\in M} oraz X ∈ T p M . {\displaystyle X\in T_{p}M.} Odzworowanie styczne jest funkcją klasy C k − 1 . {\displaystyle C^{k-1}.}

Zobacz też

  • odwzorowanie kostyczne

Bibliografia

  • Wojciech Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.