| Ten artykuł od 2009-05 wymaga zweryfikowania podanych informacji: dokończyć formatowanie i dopisać definicję intuicyjną. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Proces Lévy’ego – proces stochastyczny
na przestrzeni probabilistycznej
o wartościach w przestrzeni euklidesowej
spełniający następujące warunki:
-prawie wszędzie, - ma przyrosty niezależne, tzn. dla każdego ciągu
zmienne losowe
są niezależne, - ma przyrosty stacjonarne, tzn. rozkład
jest taki sam, jak
dla każdych ![{\displaystyle s,t\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3d388a6c4718a715aae8b93e1345e98cbdc43b)
- proces
jest ciągły według prawdopodobieństwa, tzn. dla każdego
i dla każdego ![{\displaystyle \varepsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![{\displaystyle \lim _{s\to t}P(|X_{s}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3e897807c41b2b8066ccca176e468e69c115bf)
Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy’ego.
Własności
Najważniejszą cechą procesów Lévy’ego, sprawiającą, że są intensywnie badane, jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej liczby procesów Lévy’ego jest także procesem Lévy’ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy’ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy’ego w ogólności nie mają skończonej wariancji, czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa, gdzie wariancja jest skończona.
Wzór Lévy’ego
Rozkład procesu Lévy’ego w momencie
jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy’ego w chwili
– tzw. wzór Lévy’ego-Chinczyna:
![{\displaystyle E[e^{i\langle u,X_{t}\rangle }]=e^{t\psi (u)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c929e9ef1c0b33f868e2b044bdf0fdaa38ecf8)
gdzie:
![{\displaystyle \psi (u)=-{\frac {1}{2}}\langle u,Au\rangle +i\langle b,u\rangle +\int \limits _{R^{d}-\{0\}}\left[e^{i\langle u,y\rangle }-1-i\langle u,y\rangle 1_{\|x\|\leqslant 1}(y)\right]\nu (dy),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0f312dd617da992c1fb7fc505231854d809f64)
przy czym
jest miarą na
spełniającą warunek
![{\displaystyle {}\,\int \limits _{R^{d}-\{0\}}\left(\|y\|^{2}\wedge 1\right)\nu (dy)<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af54f955acd7e2acf1e1a34c595c046249d70285)
a
jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję
nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę
nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.
Jeśli
to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci
![{\displaystyle \psi (u)=-{\frac {1}{2}}\langle u,Au\rangle +i\langle b,u\rangle +\int \limits _{R^{d}-\{0\}}\left[e^{i\langle u,y\rangle }-1\right]\nu (dy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da49e68adcb2d09ef56f4ad3a314509cf571eb42)
Rozkład Lévy’ego-Itō
Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę
![{\displaystyle X_{t}=bt+X_{t}^{(1)}+X_{t}^{(2)}+X_{t}^{(3)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b4883e2f45131e55434a12eeb486487715e198)
gdzie
jest wielowymiarowym procesem Wienera z macierzą kowariancji
jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara
Proces
to czysto skokowy martyngał.
Przykłady
Szczególnymi przypadkami procesu Lévy’ego są:
- Proces Poissona – najprostszy proces Lévy’ego. Dla
funkcja charakterystyczna jest postaci,
przy czym ![{\displaystyle z\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c73a06fc98ee5f5ff1f99dff58146b5697cd049)
Miara prawdopodobieństwa w punkcie
Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1.
- Proces gamma. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami
to: ![{\displaystyle f(x;a,b)={\frac {b^{a}}{\Gamma (a)}}x^{a-1}\exp(-xb),\quad x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bc989d8dea50192a0ca402dc6d1bf7f58f7ad0)
Funkcja charakterystyczna jest postaci:
- Proces Cauchy’ego. Przy
miara zbioru borelowskiego to:
funkcja charakterystyczna to:
![{\displaystyle {\hat {\mu }}(z)=\exp -c|z|+i\gamma z,\quad z\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7cf55f446d68ca25d8682fe5fd9b31f93f1f77)
- Proces Wienera. Jego funkcja charakterystyczna, przy
to:
miara zbioru borelowskiego to:
![{\displaystyle \mu (B)={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\int \limits _{B}\exp \left({\frac {-(x-\gamma )^{2}}{2a}}\right)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0561c413804e66af50c3a700c0e7eb792949e2b3)
Zobacz też
- prawdopodobieństwo
- procesy stochastyczne
- przestrzeń mierzalna
Kontrola autorytatywna (pojęcie matematyczne):
- LCCN: sh95010454
- GND: 4463623-4
- BnF: 13323277c
- BNCF: 49381
- J9U: 987007532439005171
Encyklopedie internetowe: