Równanie Lapunowa

Równanie Lapunowa – w teorii sterowania to jedno z następujących równań:

  • dyskretne równanie Lapunowa:
A X A H − X + Q = 0 , {\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0,}
gdzie Q {\displaystyle Q} jest macierzą hermitowską, a A H {\displaystyle A^{H}} jest transpozycją sprzężoną macierzy A ; {\displaystyle A;}
  • dyskretne równanie Lapunowa w postaci:
A X + X A H + Q = 0. {\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0.}

Równania Lapunowa występują w wielu zagadnieniach teorii sterowania takich jak analiza stabilności Lapunowa i sterowanie optymalne (zob. algebraiczne równanie Riccatiego).

Zastosowanie do stabilności

W poniższych twierdzeniach A , P , Q ∈ R n × n , {\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n},} i P {\displaystyle P} oraz Q {\displaystyle Q} są symetryczne. Notacja P > 0 {\displaystyle P>0} oznacza, że macierz P {\displaystyle P} jest macierzą dodatnio określoną.

Twierdzenie dla przypadku czasu ciągłego

Jeśli istnieje P > 0 {\displaystyle P>0} i Q > 0 {\displaystyle Q>0} spełniająca A T P + P A + Q = 0 , {\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0,} wówczas układ liniowy x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} jest globalnie asymptotycznie stabilny. Funkcja kwadratowa V ( z ) = z T P z {\displaystyle V(z)=z^{T}Pz} jest funkcją Lapunowa, która może być użyta do weryfikacji stabilności.

Twierdzenie dla przypadku czasu dyskretnego

Jeśli istnieje P > 0 {\displaystyle P>0} i Q > 0 {\displaystyle Q>0} spełniająca A T P A − P + Q = 0 , {\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0,} wówczas układ liniowy x ( t + 1 ) = A x ( t ) {\displaystyle x(t+1)=Ax(t)} jest globalnie asymptotycznie stabilny. Podobnie jak w twierdzeniu powyżej z T P z {\displaystyle z^{T}Pz} jest funkcją Lapunowa.

Aspekty obliczeniowe rozwiązań

Korzystając z uzupełnienia Schura, dyskretne równanie Lapunowa można zapisać w postaci:

[ X − 1 A A H X − Q ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0}

lub równoważnie:

[ X X A A H X X − Q ] = 0. {\displaystyle {\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0.}

Przy rozwiązywaniu równań Lapunowa można posłużyć się dostępnym specjalistycznym oprogramowaniem. W przypadku dyskretnym często stosuje się metodę Schura podaną przez Kitagawa (1977). W przypadku ciągłym można posłużyć się metodą Bartelsa i Stewarta (1972).

Rozwiązanie analityczne

Dla równań dyskretnych czasu dyskretnego istnieje rozwiązanie analityczne. Definiuje się operator vec ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {vec} (A)} jako złożenie kolumn macierzy A {\displaystyle A} (zob. wektoryzacja). Ponadto definiuje się k r o n ( A , B ) {\displaystyle kron(A,B)} jako iloczyn Kroneckera macierzy A {\displaystyle A} i B . {\displaystyle B.} Korzystając z następującego wyniku:

vec ⁡ ( A B C ) = k r o n ( C T , A ) vec ⁡ ( B ) , {\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=kron(C^{T},A)\operatorname {vec} (B),}

otrzymuje się:

( I − k r o n ( A T , A T ) ) vec ⁡ ( X ) = vec ⁡ ( Q ) , {\displaystyle (I-kron(A^{T},A^{T}))\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q),}

gdzie I {\displaystyle I} jest zgodną macierzą jednostkową.

Można wówczas znaleźć rozwiązanie vec ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {vec} (X)} przez odwrócenie lub przez rozwiązanie równań liniowych. Aby uzyskać X {\displaystyle X} wystarczy odpowiednio przekształcić vec ⁡ ( X ) . {\displaystyle \operatorname {vec} (X).}

Zobacz też