Wielomiany Hermite’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego
![{\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c21b20b884b376a2b6242ecae59b62a35c7766)
przy warunkach początkowych
![{\displaystyle H_{0}(x)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa41d4e74de9970aca4fc830e1619594855381f1)
![{\displaystyle H_{1}(x)=2x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c7265eb8d894274c4a21258b2283beba559757)
Wielomiany Hermite’a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.
Równoważne definicje
Pierwszy z tych wzorów bywa nazywany wzorem Rodriguesa[1]:
![{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f422f731e679a7b52328c55f3c3da0ea547c19)
![{\displaystyle H_{n}(x)={\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+it)^{n}e^{-t^{2}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1eaa52ceb554801d8d40470160aff4f02c5cee)
![{\displaystyle H_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}+2xt}{\Bigg |}_{t=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4a33f5dc5b0b531d11f052b18e2e0c3e7772cb)
Wykładnicza funkcja tworząca
Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite’a jest
![{\displaystyle G(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd652ac1413955944ed72dbb34b8f4db04ace3a3)
Innymi słowami – jeśli rozwiniemy
![{\displaystyle e^{-t^{2}+2tx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb408e32cb145a3e5079fc7392dcd0ab4131652e)
w szereg Maclaurina względem zmiennej
współczynnikiem przy
będzie
Wykresy pierwszych czterech wielomianów
Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite’a ![{\displaystyle H_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d50c0c30096dbe1f9abece007642f83df8a2afa)
![{\displaystyle H_{1}=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdc6b79e7053f16d9dc5c632c043d9b5b7ef3eb)
![{\displaystyle H_{2}=4x^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c376b6b7d734dedea5bd97d08e86792621ea943)
![{\displaystyle H_{3}=8x^{3}-12x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab1c64a6fcc5ce08b8eb7391cff7643a950ec97)
![{\displaystyle H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403fb37724e027c380a1fb7b01e028f987e60a28)
![{\displaystyle H_{5}=32x^{5}-160x^{3}+120x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a816a8a4414b8af98df827e11009ec7b6d69fd)
![{\displaystyle H_{6}=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a07823b5d50ecf55c54ac631434f285693d068b)
![{\displaystyle H_{7}=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21c428f20daa7909d194663ab38c62716ce3c84)
Własności wielomianów Hermite’a
jest wielomianem
-tego stopnia. ![{\displaystyle {\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45a3e14b5807272816a34e00e252079caf50d3b)
![{\displaystyle H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405a3993e5cc78fcdaa6c0ec2f73ff215be9a0be)
![{\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621e09354e4dd45ab05833960283b1c8da94640f)
czyli dla
parzystego
jest funkcją parzystą, a dla
nieparzystego – funkcją nieparzystą.
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{nm},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe74714ebec69d6eaa338019b8c167981d05848)
czyli wielomiany Hermite’a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową
Zobacz też
Przypisy
- ↑ wielomiany Hermite’a, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-22] .
Bibliografia
- Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.
Kontrola autorytatywna (funkcja specjalna):
- LCCN: sh85060414
- GND: 4293831-4
- BnF: 12390510h
- SUDOC: 032991584
- BNCF: 38388
- NKC: ph161656
- J9U: 987007557902605171
- БРЭ: 4938099
- DSDE: Hermite-polynomier