Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)

Zobacz też: inne rozumienia wyrażenia „zdarzenie losowe”.

Zdarzenie losowe – mierzalny podzbiór ${\displaystyle A}$ zbioru zdarzeń elementarnych ${\displaystyle \Omega }$ danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy – zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na ${\displaystyle \Omega .}$

Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},}$ gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na ${\displaystyle \Omega }$ są np.: ${\displaystyle A=\{6\}}$ – zdarzenie, że wypadło sześć oczek, ${\displaystyle B=\{1,2\}}$ – zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka, ${\displaystyle C=\{1,3,5\}}$ – zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa ${\displaystyle P(A)={\frac {1}{6}},P(B)={\frac {2}{6}},P(C)={\frac {3}{6}},}$ proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe. Zauważmy, że ${\displaystyle A,B,C\subset \Omega .}$

Definicja ogólna

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory ${\displaystyle A,B,\dots ,X,Y,\dots }$ należące do σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych ${\displaystyle \Omega .}$ Samo σ-ciało ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Powyższa definicja stosuje się zarówno, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym, jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)

Podstawowe pojęcia

1) Zdarzenie elementarne – pojedynczy wynik eksperymentu losowego.

Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.

b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na pierwszej kostce, a druga – liczbę oczek uzyskaną na drugiej kostce.

2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych ${\displaystyle \Omega }$ – zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.

Np. dla rzutu 1 kostką mamy ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},}$ gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.

3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu – zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia ${\displaystyle A=\{1,3,5\}}$ zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne ${\displaystyle \{1\},}$ ${\displaystyle \{3\},}$ ${\displaystyle \{5\}.}$

4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia – zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru ${\displaystyle \Omega .}$

Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek ${\displaystyle B=\{1,3,5\}}$ jest zdarzenie ${\displaystyle C,}$ że wypadła parzysta liczba oczek, tj. ${\displaystyle C=\Omega \setminus B=\{2,4,6\}}$

Dowolność wyboru σ-ciała

Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.

Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.}$ Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np.

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ – σ-ciało nazywamy zdegenerowanym,, gdyż zawiera tylko zdarzenie niemożliwe ${\displaystyle \emptyset }$ oraz zdarzenie pewne ${\displaystyle \Omega .}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}=\left\{\emptyset ,\Omega ,\{1\},\{2,3,4,5,6\}\right\}}$ – σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia ${\displaystyle \{1\}}$ oraz ${\displaystyle \{2,3,4,5,6\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}=2^{\Omega }}$ – σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów ${\displaystyle \Omega ,}$ tzn. dowolny podzbiór zbioru ${\displaystyle \Omega }$ należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).

Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.

Zobacz też

Typy zdarzeń losowych:

• zdarzenie losowe niemożliwe
• zdarzenia losowe niezależne
• zdarzenie losowe pewne
• zdarzenie losowe przeciwne
• zdarzenia losowe rozłączne

Paradoksy teorii prawdopodobieństwa:

• paradoks Bertranda
• paradoks Monty’ego Halla

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.
• W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, Warszawa 1975.