Índice de um subgrupo

Em álgebra abstrata, o índice de um grupo ${\displaystyle G}$ em um subgrupo ${\displaystyle H}$ se refere ao número de elementos que possuem os conjuntos das classes adjuntas (ou classes laterais), cuja notação é ${\displaystyle G:H}$ ou ${\displaystyle H:G}$ que estão definidas mediante as relações de equivalência ${\displaystyle \sim _{H}}$ (Classe lateral a esquerda) e ${\displaystyle _{H}\sim }$ (Classe lateral a direita), dadas por:^[1]

• ${\displaystyle x\sim _{H}y\Leftrightarrow x^{-1}y\in H,~\forall x,y\in G}$

  ${\displaystyle x_{H}\sim y\Leftrightarrow xy^{-1}\in H,~\forall x,y\in G}$

tal que:

• ${\displaystyle G:H=\bigcup _{g\in G}\{gh:h\in H\}=\bigcup _{g\in G}gH}$

  ${\displaystyle H:G=\bigcup _{g\in G}\{hg:h\in H\}=\bigcup _{g\in G}Hg}$

Definição

Seja ${\displaystyle G}$ um grupo finito e seja ${\displaystyle H\subseteq G}$ um subgrupo de ${\displaystyle G}$. O número

${\displaystyle i(H,G)=|H:G|=|G:H|=|G|/|H|,}$

é chamado índice de ${\displaystyle G}$ em ${\displaystyle H}$ e se representa por ${\displaystyle i(H,G)}$, de onde se tem utilizado a notação clássica, ${\displaystyle |G|}$, para a ordem de um grupo.

Referências