Exponencial de Doléans-Dade

Em cálculo estocástico, a exponencial de Doléans–Dade, exponencial de Doléans ou exponencial estocástica de um semimartingale ${\displaystyle X}$ é definida como a solução da equação diferencial estocástica ${\displaystyle dY_{t}=Y_{t}dX_{t}}$ com condição inicial ${\displaystyle Y_{0}=1}$. O conceito recebe este nome em homenagem à matemática franco-americana Catherine Doléans–Dade. É às vezes denotada como ${\displaystyle \varepsilon (x)}$.^[1]

Definição

No caso em que ${\displaystyle X}$ é diferenciável, então, ${\displaystyle Y}$ é dado pela equação diferencial ${\displaystyle dY/dt=YdX/dt}$, para a qual a solução é ${\displaystyle Y=\exp(X-X_{0})}$. Alternativamente, se ${\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+\mu t}$ para um movimento browniano ${\displaystyle B}$, então, a exponencial de Doléans–Dade é um movimento browniano geométrico. Para qualquer semimartingale contínuo ${\displaystyle X}$, aplicando o lema de Itō com ${\displaystyle f(Y)=\log(Y)}$, tem-se que:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}d[Y]\\&=dX-{\frac {1}{2}}d[X].\end{aligned}}}$

A exponenciação dá a solução:

${\displaystyle Y_{t}=\exp(X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}),t\geq 0.}$

Isto difere do que pode ser esperado por comparação com o caso em que ${\displaystyle X}$ é diferenciável devido à existência do termo de variação quadrática ${\displaystyle [X]}$ na solução.

A exponencial de Doléans–Dade é útil no caso em que ${\displaystyle X}$ é um martingale local. Então, ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ também será um martingale local, enquanto a exponencial normal ${\displaystyle \exp(x)}$ não é. Isto é usado no teorema de Girsanov. Os critérios para que um martingale local contínuo ${\displaystyle X}$ garanta que sua exponencial estocástica ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ seja de fato um martingale são dados pelas condições de Kazamaki, Novikov e Beneš.

É possível aplicar o lema de Itō para semimartingales não contínuos de forma semelhante para mostrar que a exponencial de Doléans–Dade de qualquer semimartingale ${\displaystyle X}$ é:

${\displaystyle Y_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}{\Bigr )}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\exp {\Bigl (}-\Delta X_{s}+{\frac {1}{2}}\Delta X_{s}^{2}{\Bigr )},t\geq 0,}$

em que o produto se estende sobre os (muitos) saltos (contáveis) de ${\displaystyle X}$ até o tempo ${\displaystyle t}$.^[2]

Referências

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