Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.
Função real limitada
Uma função real
é limitada se existe uma constante
tal que:[1][2]
![{\displaystyle |f(x)|\leq M,~~\forall x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfdd56158d812718532f0c8b11c0ad786a972e9)
Além disso, dizemos que
é uma função limitada superiormente quando existe
tal que:[1][2]
.
Analogamente, dizemos que
é limitada inferiormente quando existe
tal que:[1][2]
.
Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.
Propriedades
Sejam duas funções
e
de contra-domínio real. Se
é limitada, e se
, então
.[1]
- Demonstração
Suponhamos que
é uma função não-negativa. Se
não há nada mais a fazer. Se
é positiva, temos que como
é limitada, então existe
,
tal que
. Segue que:
e assim
.
Logo:
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}-Mg(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}Mg(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f40faaa15a333e12bac5e638201fd01465f8c7a)
![{\displaystyle -M\lim _{x\rightarrow a}g(x)\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq M\lim _{x\rightarrow a}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad12aa746e1b6baaa2b6f89523d1d58745d39a9)
![{\displaystyle 0\leq \lim _{x\rightarrow a}f(x)g(x)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a9a7c86f3d67c81e988d544b619f23b2a904f6)
Assim, pelo teorema do confronto,
. O caso de
negativa segue raciocínio análogo.
Observação
- Note que um funcional linear nunca é limitado neste sentido. O termo funcional linear limitado é um funcional que leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
Referências
- ↑ a b c d Lima, Elon Lages (2012). Análise Real - vol. 1 11 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 978-85-244-0048-3
- ↑ a b c Ávila, Geraldo (2000). Introdução à análise matemática 2 ed. [S.l.]: Edgard Blücher
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