Homeomorfismo

Um homeomorfismo entre uma caneca e uma rosquinha

Um homeomorfismo é a noção principal de congruência em topologia,[1] sendo o isomorfismo de espaços topológicos.[2] A palavra homeomorfismo vem da união de duas palavras gregas: homoios (igual) e morphe (forma), ou seja "mesma forma"; o termo foi introduzido pelo matemático Henri Poincaré, em 1895.[3]

Definição

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e que a sua inversa seja contínua. Essa aplicação é chamada de homeomorfismo.[1]

Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.[2]

Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.[2]

Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, que a função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Exemplos

Exemplos de espaços homeomorfos:

  • No plano ( R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ), um quadrado e uma circunferência são homeomorfos;
  • Quaisquer duas curvas simples no espaço são homeomorfas;
  • Uma caneca e uma rosquinha são homeomorfos;
  • O domínio de uma função contínua e o seu gráfico — conjunto dos pontos ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} — são homeomorfos, sendo o domínio um subconjunto de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e o contradomínio o R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} [4]
  • Uma bola no R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e uma bola no R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} só são homeomorfas se n = m {\displaystyle n=m} .[5]

Exemplos de homeomorfismos:

  • Translações e homotetias de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . [1]

Exemplos de aplicações não-homeomorfas:

  • Não basta que a função seja contínua e invertível: a função f : [ 0 , 2   π ) → S 1 {\displaystyle f:[0,2\ \pi )\rightarrow S^{1}\,} definida por f ( x ) = ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) {\displaystyle f(x)=(\sin x,\cos x)\,} não é um homeomorfismo.

Propriedades

  • A aplicação composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.[1]

Resultados relevantes

  • Sejam X compacto e Y Hausdorff. Dada uma função bijetiva e contínua f : X ↦ Y {\displaystyle f:X\mapsto Y} , temos que f {\displaystyle f} é um homeomorfismo.

Outras noções de igualdade topológica

Referências

  1. ↑ a b c d Lima 1981, p. 28.
  2. ↑ a b c Misha Verbitsky e Dmitry Kaledin, "Тривиум" (curso ministrado em 2004), Geometria, Capítulo 5, Topologia do conjunto [em linha] (em russo) ou [em linha] (em inglês)
  3. ↑ Gamelin, Greene, Theodore, Robert. Introduction to Topology. [S.l.]: Courier Corporation. p. 67. ISBN 978-0-486-40680-0 
  4. ↑ Lima 1981, p. 29.
  5. ↑ Lima 1981, p. 62.

Bibliografia

  • Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .
  • Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise. Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: [s.n.] 
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