Um número heptagonal é um número poligonal que representa um heptágono . O n -ésimo número heptagonal é dado pela fórmula:
: 5 n 2 − 3 n 2 {\displaystyle {\frac {5n^{2}-3n}{2}}} Os 5 primeiros números heptagonais. Os primeiros números heptagonais são:
1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (sequência A000566 na OEIS ) Paridade A paridade dos números heptagonais segue a sequência ímpar - ímpar - par - par. O quíntuplo de um número heptagonal adicionado de 1 é um número triangular .
Números heptagonais generalizados Um número heptagonal generalizado é obtido a partir da fórmula
: T n + T ⌊ n 2 ⌋ , {\displaystyle T_{n}+T_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor },} onde T n n' -ésimo número triangular.Os primeiros números heptagonais são:
1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112, … (sequência A085787 na OEIS ) Todos os números heptagonais generalizados são heptagonais. Entre 1 e 70, os números heptagonais não generalizados também são Números de Pell.[ 1]
Soma dos recíprocos A fórmula para a soma dos recíprocos dos números heptagonais é dada por: [ 2]
: ∑ n = 1 ∞ 2 n ( 5 n − 3 ) = 1 15 π 25 − 10 5 + 2 3 ln ( 5 ) + 1 + 5 3 ln ( 1 2 10 − 2 5 ) + 1 − 5 3 ln ( 1 2 10 + 2 5 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)} Raízes heptagonais Uma analogia com relação à raiz quadrada pode ser feita, calculando a raiz heptagonal de x , dada pela fórmula:
: n = 40 x + 9 + 3 10 . {\displaystyle n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}}.} Obtenção da fórmula das raízes heptagonais A fórmula da raiz heptagonal n de x é obtida da seguinte forma:
x = 5 n 2 − 3 n 2 {\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}} 2 x = 5 n 2 − 3 n {\displaystyle 2x=5n^{2}-3n} 5 n 2 − 3 n − 2 x = 0 {\displaystyle 5n^{2}-3n-2x=0} n = − ( − 3 ) ± ( − 3 ) 2 − ( 4 × 5 × − 2 x ) 2 × 5 {\displaystyle n={\frac {-(-3)\pm {\sqrt {(-3)^{2}-(4\times 5\times -2x)}}}{2\times 5}}} n = 3 ± 9 − ( − 40 x ) 10 {\displaystyle n={\frac {3\pm {\sqrt {9-(-40x)}}}{10}}} n = 3 ± 9 + 40 x 10 {\displaystyle n={\frac {3\pm {\sqrt {9+40x}}}{10}}} n = ± 40 x + 9 + 3 10 , {\displaystyle n={\frac {\pm {\sqrt {40x+9}}+3}{10}},} Referências ↑ B. Srinivasa Rao, "Heptagonal Numbers in the Pell Sequence and Diophantine equations 2 x 2 = y 2 ( 5 y − 3 ) 2 ± 2 {\displaystyle 2x^{2}=y^{2}(5y-3)^{2}\pm 2} Fib. Quart. 43 3: 194 ↑ Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers Veja também Séries e Sequência
Sequência aritmética
Sequência geométrica
Série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ Séries geométricas divergentes
Sequência hipergeométrica Função geral hipergeométrica Função hipergeométrica de um argumento matriz Função de Lauricella Função modular hipergeométrica Equação diferencial de Riemann Função Theta hipergeométrica Sequência de inteiros Outras sequências
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