Um número primo de Wagstaff é um número primo p da forma
![{\displaystyle p={{2^{q}+1} \over 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3480988582a0eef09885519951562871fe2699)
onde q é outro número primo. Os números primos de Wagstaff são assim designados em homenagem ao matemático Samuel S. Wagstaff Jr., e o site Prime Pages indica que François Morain os designou assim num discurso na conferencia Eurocrypt 1990. Estão relacionados com a nova conjetura de Mersenne e têm aplicações no campo da criptologia.
Os rimeiros números primos de Wagstaff
Os três primeiros números primos de Wagstaff são 3, 11 e 43 porque
![{\displaystyle 3={{2^{3}+1} \over 3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedbccf4674621cbd6c063bd65edfa8db4e8f84f)
![{\displaystyle 11={{2^{5}+1} \over 3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36cd3bce40e20edc8bb7499c128cd485a983786d)
![{\displaystyle 43={{2^{7}+1} \over 3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1bcbe8ad5b3cab52589153818893c5f3be16948)
Os primeiros números primos de Wagstaff (sequência A000979 na OEIS) são:
- 3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403.
Os exponentes q
Os primeiros exponetes q que produzem números primos de Wagstaff ou provavelmente primos (sequência A000978 na OEIS) são:
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191.
Já foi demonstrada a primalidade destes números com q menor ou igual que 42737. Os de exponente maior são "provavelmente primos", e o maior de todos os que se conhecem na atualidade,
, foi descoberto por Vincent Diepeveen em junho de 2008.
Generalizações
É natural considerar[1] mais números genéricos da forma
![{\displaystyle Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba0d1227d2d7a33c3abe88198ec4a6c8f741c59)
onde a base
. Como para
ímpar se tem
![{\displaystyle {\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}(-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59930299234d879d31c4af2f2a6120b514de8a4)
estes números são chamados "números de Wagstaff de base
", e por vezes considerados[2] como um caso de números repunit com base negativa
.
Ligações externas
- Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Wagstaff» (em inglês). The Prime Pages. Universidade do Tennessee.
- Renaud Lifchitz, Um teste eficiente para números provavelmente primos da forma (2^p+1)/3.
Referências
- ↑ Dubner, H. e Granlund, T.: Primes of the Form (bn + 1)/(b + 1), Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000)
- ↑ Repunit, Wolfram MathWorld (Eric W. Weisstein)
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Por fórmula | - Fermat
![{\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93eb116c31324099b69d936d520e6ef3fcda921d) - Mersenne
![{\displaystyle (2^{p}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5e3ddbb373726b17a26e34126deb55b166ff87) - Duplo de Mersenne
![{\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1835aef839f9ef44f748cf67674c0a166bdbfd71) - Wagstaff
![{\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b13cbecae516f39a0998209d053c401033088d) - Proth
![{\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a850b678bdf0a7ceb6c90577df3495fc1de474) - Factorial
![{\displaystyle (n!\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d4d60dd075b15589cb182b42f152d2e587065d) - Primorial
![{\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1df4e8d29b9b8264895c9151398c1d001b89ad) - Euclides
![{\displaystyle (p_{n}\#+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de51224ceb61b6f827fb670418610979303be5d) - Pitagórico
![{\displaystyle (4n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d18b0f0a91a43ccc00ddfa91b35eed27fec64c1) - Pierpont
![{\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854cb663ae04c0df2df501c45d7530801b114af3) - Solinas
![{\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f809f55e5abbe8d8b94dbb73ba1670a639935b0e) - Cullen
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e9e6b97738ef48e8096a5942bce7ced58b3a49) - Woodall
![{\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf9e31860bad845dd75f9cf41cf058cdb88b5cc) - Cubano
![{\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2e1aac9d468b948ad331e322f944695e3f0d28) - Carol
![{\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ec427e1adf93b03b27ab1550bf348a593ac8b4) - Kynea
![{\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d38f86286d8b9c9dc6ceb821972d02d1c4e91a) - Leyland
![{\displaystyle (x^{y}+y^{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d67405b47972b5c1d3c5befde643e0ddf53563e) - Thabit
![{\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4459f9d79b1127316dc202da3465bbf76b67d36f) - Mills (chão
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![{\displaystyle (p,p+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e1ec03d48e4042e402393086457ebfec09afc4) - Tripla
![{\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4627bdddefde6d58ea32e73a6b47e22f3ef57522) - Quádrupla
![{\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e6d4d2753696bd3114c75a4a70f3985cdcafe1) - Tuplo
- Primos primos
![{\displaystyle (p,p+4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9ff8c80c8d3af43a6529aee1c3844a26bfe26c) - Sexy
![{\displaystyle (p,p+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605f75125b6e36d8b882393e85225236b1a7171a) - Chen
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![{\displaystyle (p,2p+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563a6a04da136c0b990202365d35e21337936490) - Cadeia de Cunningham
![{\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db06a6b86bc0a433c31df298769dbddd3b31a1ba) - Seguro
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![{\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd39ae6bb92fd213322a52fa76afde457fd06fd9) - Equilibrado (consecutivos
![{\displaystyle p-n,p,p+n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552e9db33203a780ff20262082dcefacf132099) |
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