Paradoxo do aniversário

Calculando a probabilidade

Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniformes uma vez que as datas não são equiprováveis.[1]

É mais fácil calcular a probabilidade p(n) de que todos os n aniversários sejam diferentes. Se n > 365, pelo princípio da casa dos pombos esta probabilidade é 0. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por

p ¯ ( n ) = 1 ⋅ ( 1 − 1 365 ) ⋅ ( 1 − 2 365 ) ⋯ ( 1 − n − 1 365 ) = 365 ⋅ 364 ⋯ ( 365 − n + 1 ) 365 n = 365 ! 365 n ( 365 − n ) ! {\displaystyle {\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={365\cdot 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}={365! \over 365^{n}(365-n)!}}

porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é

p ( n ) = 1 − p ¯ ( n ) . {\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n).}

Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

n p(n)
10 12%
20 41%
23 50.7%
30 70%
50 97%
100 99.99996%
200 99.9999999999999999999999999998%
300 (1 − 7×10−73) × 100%
350 (1 − 3×10−131) × 100%
367 100%

Implementação em Python 

def birthday(n):
    p = (1.0/365)**n
    for i in range((366-n),366):
        p *= i
    return 1-p

Implementação no R 

birthday <- function(n) {
  print(p <- 1 - choose(365, 365 - n) * factorial(n) / 365 ^ n)
}

Implementação em Javascript 

function birthday (n) {
    let p = (1.0 / 365)**n
    for(let i = (366 - n); i < 366; i++) {
        p *= i
    }
    return 1 - p
}

Aproximações

Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial

e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots }
Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n2/(2⋅365)).

a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a

p ¯ ( n ) ≈ 1 ⋅ e − 1 / 365 ⋅ e − 2 / 365 ⋯ e − ( n − 1 ) / 365 {\displaystyle {\bar {p}}(n)\approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}}
= 1 ⋅ e − ( 1 + 2 + ⋯ + ( n − 1 ) ) / 365 {\displaystyle =1\cdot e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}}
= e − ( n ( n − 1 ) ) / 2 ⋅ 365 {\displaystyle =e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}}

Então,

p ( n ) = 1 − p ¯ ( n ) ≈ 1 − e − ( n ( n − 1 ) ) / 2 ⋅ 365 {\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}}

Uma outra aproximação grosso modo é dada por

p ( n ) ≈ 1 − e − n 2 / 2 ⋅ 365 , {\displaystyle p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/{2\cdot 365}},\,}

que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

Aproximação de Poisson

Utilizando a aproximação de Poisson para a binomial,

P o i ( C ( 23 , 2 ) 365 ) ≈ P o i ( 253 365 ) ≈ P o i ( 0.6932 ) {\displaystyle \mathrm {Poi} \left({\frac {C(23,2)}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} \left({\frac {253}{365}}\right)\approx \mathrm {Poi} (0.6932)}
Pr ( X > 0 ) = 1 − Pr ( X = 0 ) = 1 − e − 0.6932 = 1 − 0.499998 = 0.500002. {\displaystyle \Pr(X>0)=1-\Pr(X=0)=1-e^{-0.6932}=1-0.499998=0.500002.}

Novamente, ela é maior que 50%.

Ver também

Referências

  • Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", American Mathematical Monthly 45 (1938), pages 348-352
  • M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", Journal of Combinatorial Theory 3 (1967), pages 279-282.
  • D. Bloom: "A birthday problem", American Mathematical Monthly 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

Notas e referências

  1. ↑ Em particular, muitas crianças nascem no verão, especialmente nos meses de Julho, Agosto e Setembro (para o hemisfério norte) [1]; ainda assim, em ambientes como salas de aula onde muitas pessoas partilham a mesma data de aniversário, isso torna-se relevante devido a maneira em que o hospital trabalha, onde partos induzidos ou realizados por cesarianas geralmente não são marcados nos finais de semana, mais crianças nascem na segunda e terça-feira do que nos finais de semana. Ambos fatores tendem a ampliar as chances de aniversários idênticos, visto que um subconjunto mais denso possuem mais pares possíveis

Ligações externas

  • Um experimento online demonstrando o paradoxo do aniversário do utilizadores
  • Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes Em falta ou vazio |título= (ajuda)
  • The Birthday Paradox
  • http://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html  Em falta ou vazio |título= (ajuda)
  • Eric W. Weisstein, Birthday Problem no MathWorld
  • Maple vs. paradoxo do aniversário
  • Probability by Surprise Birthday Applet An animation for simulating the birthday paradox.
  • A humorous article explaining the paradox
  • The Birthday Problem Spreadsheet
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