Teoria das distribuições

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O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida em meados do século XX por Laurent Schwartz^[1], que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.

Motivação

A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.

Definições

Definição de distribuições

Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.

Notação

De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número

${\displaystyle T:\phi \to T(\phi ):=(T,\phi )}$

Na última equação ${\displaystyle (T,\phi )}$ é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste ${\displaystyle \phi }$. Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre ${\displaystyle \phi }$.

Exemplos

• Seja ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle f\in C(\Omega )}$, tal que para toda função teste ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ a expressão ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)dx}$ seja uma distribuição no espaço ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$.
• Seja ${\displaystyle x_{0}\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$. Então para todo ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ a derivada parcial ${\displaystyle (\partial _{x}^{\alpha }\phi )(x_{0})}$ é também um distribuição em ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$.
• o valor principal de Cauchy da função ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ pode ser interpretado como a distribuição ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \forall \phi \in C_{c}^{\infty }:\ T(\phi ):=PV-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}dx}$.

Funções teste

Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )\,|\,\operatorname {supp} \,\phi \mathrm {~um~subconjunto~compacto~de~} \Omega \}}$

o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

Funções teste para distribuições gerais

Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$, é necessário um critério de convergência. Uma seqüência ${\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ com ${\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ converge ao valor ${\displaystyle \phi }$, quando existe um conjunto compacto ${\displaystyle K\subset \Omega }$ com ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}$ para todo ${\displaystyle j}$ e

${\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}(x)-\phi (x)\right)\right|=0}$

para todo multi-índice ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$. O espaço ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$.

Funções teste para distribuições com suporte compacto

Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$. Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$. A família de semi-normas é expressa por

${\displaystyle \phi \mapsto \sum _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\phi (x)\right|.}$

Esta norma induz uma topologia convexa local

Referências

Bibliografia

• Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
• Michael James Lighthill: An introduction to Fourier analysis and generalised functions, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
• Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen, Lecture Notes in Mathematics 82, Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.
• Kesavan, Srinivasan (1989). Topics in functional analysis and applications 1. publ ed. New Delhi u.a: Wiley Eastern