Teste da condensação de Cauchy

Em matemática, o teste da condensação de Cauchy é um teste padrão de convergência para séries infinitas. Seja uma seqüência não-negativa e monotonicamente decrescente $f(n)$ de números reais, então a série $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ converge se e somente se a "série condensada" $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ converge. Ademais, se essas séries convergem, a soma da série condensada não é maior do que $2\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ .

Este teste é bastante técnico, assim como o teste de convergência de Abel, e seu principal objetivo é mostrar a convergência das p-séries quando $p>1$ .

Estimativas e demonstração

O teste da condensação de Cauchy segue das seguintes estimativas:

$0\ \leq \ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty$

as quais devem ser entendidas como desigualdades nos números reais estendidos.

Para se chegar a primeira desigualdade os termos são reassociados em grupos com número de elementos sendo potências de dois, e depois, em cada grupo, substitui-se seus termos pelo primeiro - que é o maior deles -, já que eles formam uma seqüência não-crescente.

{\begin{array}{rcccccccl}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}

Para se chegar a segunda desigualdade, os termos da série são novamente reassociadas em grupos com número de elementos sendo potências de dois, onde em cada grupo é tomada, novamente, uma substituição por um termo maior na série não-crescente $f(n)$ .

{\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}

Visualização do argumento: somas parciais das séries $\textstyle \sum f(n)$ , $\sum 2^{n}f(2^{n})$ e $2\sum f(n)$ .

{\displaystyle \textstyle \sum f(n)} — Visualização do argumento: somas parciais das séries $\textstyle \sum f(n)$ , $\sum 2^{n}f(2^{n})$ e $2\sum f(n)$ .

Teorema 1

A série $\sum {\frac {1}{n^{p}}}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1$ .

Demonstração

Se $p\leq 0$ a série claramente diverge, já que $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{p}}}\neq 0$ . Se $p>0$ , aplicando o teste da condensação, temos:

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}{\frac {1}{2^{np}}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{(1-p)n}$ .

Temos $2^{1-p}<1$ se e somente se $1-p<0$ , ou seja, $p>1$ . O resultado segue da convergência da série série geométrica, fazendo $r=2^{1-p}$ .^[1]

Teorema 2

Se $p>1$ então a série $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\log {n})^{p}}}$ converge. Se $p\leq 1$ então a série diverge.

Demonstração

A monotonocidade da função logarítmica implica que $\log {n}$ é crescente. Sendo assim, $1/n\log {n}$ é decrescente, e o teste da condensação pode ser aplicado.

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}{\frac {1}{2^{n}(\log {2^{n}})^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\log {2})^{p}}}={\frac {1}{(\log {2})^{p}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$ e o resultado segue do teorema anterior.^[2]

Referências

↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 62. ISBN 978-0-07-054235-8
↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 63. ISBN 978-0-07-054235-8