Teste da divergência

Em matemática, o teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge, então seu termo geral ${\displaystyle a_{n}}$ converge para zero.

Demonstração

Considere as somas parciais ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$ Queremos mostrar que a convergência de ${\displaystyle S_{N}}$ implica que o limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ exista e seja nulo.

Como a seqüência ${\displaystyle S_{N}}$ é convergente, ela também é uma seqüência de Cauchy (pois estes conceitos são equivalentes em espaços métricos completos). Logo temos que para todo ${\displaystyle k}$ positivo, vale o limite:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N+k}-S_{N})=0}$

O teorema do termo geral é o caso particular em que ${\displaystyle k=1}$, pois:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N+1}-S_{N})=\lim _{N\to \infty }a_{N+1}=0}$

O que completa a demonstração.

Outra demonstração

Se o limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{N}}$ existe, então:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n-1}}$

E

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})=S-S=0}$

A recíproca não é verdadeira

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

onde o termo geral ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ tende a zero, mas a soma diverge.

Se o termo geral converge a zero o teste é inconclusivo

Quando o limite do termo geral vai a zero a série pode convergir ou divergir, o que torna o teste inconclusivo. No parágrafo anterior vimos o exemplo da série harmônica que diverge e o termo geral vai a zero. Resta mostrar um exemplo de uma série que converge e o termo geral também vai a zero. Um exemplo deste tipo é série geométrica de razão 1/2 a seguir:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$.

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