O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor
Enunciado
Seja
uma série numérica e a constante
definida pelo limite:
![{\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f803287371a8e573df4bb8d13b2b5ea1104aed41)
Então:
- Se
, a série converge absolutamente - Se
ou
, a série não converge - Se
, nada se pode concluir
No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de
por:
![{\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237b6d4b4f076f7582b79bb5464e951c58541e45)
Exemplo
Considere a série dada por:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc703a0e294de5e80a4fb30ad10bc42581f32ca)
![{\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\frac {1}{2}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9957548e20ce04093d6db612a5320483f0abe1b6)
Portanto a série converge.
Exemplo 2
Considere a série dada por:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n(-1)^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b1e50e2701ab688d03ff1c2cf61870aae00fc)
![{\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{n(-1)^{n}}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|(2^{(-1)^{n}})^{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{(-1)^{n}}|^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d37508ac695e2d01099a6690b7731ca2af68eb)
, em que:
![{\displaystyle b_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{se n par}}\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{se n ímpar }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e53ef6d0c7486eaf0355c0be2939d88ec18140)
Então
não tem limite, ou seja,
não existe.
Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos
![{\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }(b_{n})=2>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04510678750cc91fe78b50bdd2d614b00ee40010)
Como
a série é divergente.
Demonstração para k<1
Seja:
![{\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237b6d4b4f076f7582b79bb5464e951c58541e45)
Escolha
Como
,
e, portanto, existe um
tal que:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon ,~~n>N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1f36c0b2062f67d2516252e27d9191c2f9c5e8)
De forma que:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon <k+{\frac {1-k}{2}}=1+{\frac {k-1}{2}}=1-\varepsilon <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c82fedb98c8c7fe460ae7900fccc342c7e51d4d)
Assim,
e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão
Demonstração para k>1
Se
, então existe u > 1 e uma subseqüência
tal que:
![{\displaystyle {\sqrt[{n_{j}}]{|a_{n_{j}}|}}\geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1761f100dff37751367fd764fe767306b6e708)
E imediatamente:
![{\displaystyle |a_{n_{j}}|\geq u^{n_{j}},~~\forall j=1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e7ecd2ef6dd66c2a192cfe89c95d0084062466)
E portanto,
Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.
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