Ecuațiile Kirchhoff

Nu confundați cu Legile lui Kirchhoff.
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol.
Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.
Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici.

În mecanica fluidelor ecuațiile Kirchhoff, numite astfel după Gustav Kirchhoff, descriu mișcarea unui corp rigid într-un fluid ideal.

d d t ∂ T ∂ ω → = ∂ T ∂ ω → × ω → + ∂ T ∂ v → × v → + Q → h + Q → , d d t ∂ T ∂ v → = ∂ T ∂ v → × ω → + F → h + F → , T = 1 2 ( ω → T I ~ ω → + m v 2 ) Q → h = − ∫ p x → × n ^ d σ , F → h = − ∫ p n ^ d σ {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}}

unde ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} și v → {\displaystyle {\vec {v}}} sunt vectorii viteză unghiulară și liniară în punctul x → {\displaystyle {\vec {x}}} ;

I ~ {\displaystyle {\tilde {I}}} este tensorul momentului de inerție;
m {\displaystyle m} este masa corpului;
n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} este o unitate normală la suprafața corpului în punctul x → {\displaystyle {\vec {x}}} ;
p {\displaystyle p} este o presiune în acest moment;
Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} și F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} sunt momentul și respectiv forța hidrodinamică care acționează asupra corpului;
Q → {\displaystyle {\vec {Q}}} și F → {\displaystyle {\vec {F}}} sunt toate celelalte momente, respectiv forțe care acționează asupra corpului.

Integrarea se realizează peste porțiunea suprafeței corpului expusă fluidului.

Dacă corpul este complet scufundat într-un volum infinit de mare de fluid irotațional, incompresibil, inviscid, care la infinit este în repaus, atunci vectorii Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} și F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} pot fi obținuți prin integrare explicită, iar dinamica corpului este descrisă de ecuațiile Kirchhoff–Clebsch:

d d t ∂ L ∂ ω → = ∂ L ∂ ω → × ω → + ∂ L ∂ v → × v → , d d t ∂ L ∂ v → = ∂ L ∂ v → × ω → , {\displaystyle {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},}
L ( ω → , v → ) = 1 2 ( A ω → , ω → ) + ( B ω → , v → ) + 1 2 ( C v → , v → ) + ( k → , ω → ) + ( l → , v → ) . {\displaystyle L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).}

Prin integrare se obține:

J 0 = ( ∂ L ∂ ω → , ω → ) + ( ∂ L ∂ v → , v → ) − L , J 1 = ( ∂ L ∂ ω → , ∂ L ∂ v → ) , J 2 = ( ∂ L ∂ v → , ∂ L ∂ v → ) . {\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right).}

Prin integrare ulterioară se obțin expresii explicite pentru poziție și viteze.

Bibliografie

  • de Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
  • en Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.
Portal icon Portal Fizică