Demonstrație vizuală că (x + y)2 ≥ 4xy (media aritmetică este mai mare ca cea geometrică)[1]
În matematică inegalitatea mediilor afirmă că media aritmetică a unei liste de numere reale nenegative este mai mare sau egală cu media geometrică a aceleiași liste. În plus, că cele două medii sunt egale dacă și numai dacă toate numerele din listă sunt același (caz în care ambele medii sunt acel număr). Teorema se poate generaliza și pentru alte medii.
Definiții
Fie numerele reale strict pozitive: , , , , ...,, pentru care există formulele :
Media aritmetică a numerelor și este = .
Generalizare: Media aritmetică a numerelor , , ..., este = .
Media armonică a numerelor și este = .
Generalizare: Media armonică a numerelor , , ..., este = .
Media geometrică a numerelor și este = .
Generalizare: Media geometrică a numerelor , , ..., este = .
Generalizare: Media pătratică a numerelor , , ..., este = .
Inegalitatea mediilor
Mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.
Generalizare
Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn. Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.
Inegalitatea mediilor generalizate
Fie Atunci:
Demonstrație.
Fie funcția Deoarece funcția f este concavă și deci:
În particular, dacă se obține inegalitatea mediilor:
Note
^en Hoffman, D. G. (), „Packing problems and inequalities”, În Klarner, David A., The Mathematical Gardner, Springer, pp. 212–225, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_19