În analiza matematică, integrarea prin schimbarea de variabilă (sau prin substituție) este un procedeu de integrare care constă în înlocuirea unei variabile (sau a unei funcții) printr-o altă funcție sau alt parametru. Există două astfel de metode.
Prima metodă de schimbare de variabilă
Această metodă se aplică pentru aflarea primitivei unei funcții
care poate fi scrisă sub forma:
![{\displaystyle h(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t),\;\forall t\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f72140323dcfcd38b5ed9e0245a4cd800e36d4)
unde
este o funcție derivabilă, iar
Dacă funcția f admite o primitivă F, adică
atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:
![{\displaystyle h(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=(F\circ \phi )'(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e878bbccc61a35d0e66da195226d83509dccedf3)
deci
este o primitivă a lui h.
Teoremă (prima metodă de schimbare de variabilă)
Fie I, J intervale din
și
![{\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b105ca5c372bbc1ed217ce7614fb48e071e94856)
funcții cu proprietățile:
φ este derivabilă pe I,
f admite primitive (fie F o primitivă a sa).
Atunci funcția
admite primitive, iar funcția
este o primitivă a lui
adică:
![{\displaystyle \int f(\phi (t))\cdot \phi '(t)dt=F\circ \phi +{\mathcal {C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e283992a4ee4cd8eec69f86cb8756dbe75e48f7c)
Demonstrație. Funcția F fiind o primitivă a lui f, este derivabilă pe J și
Însă φ este derivabilă pe I (ipoteza (α)), deci și
este derivabilă pe I și:
![{\displaystyle (F\circ \phi )'(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t)\;\;\forall t\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae6d1c668878c4411f9442ce948c5a9af35e434)
Așadar, funcția
este o primitivă a lui
A doua metodă de schimbare de variabilă
Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă H a funcției
și se cere să se găsească o primitivă F a funcției f; F se obține din H astfel:
![{\displaystyle F=H\circ \phi ^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483497d738e52e92ea129d634afb4846512fbb20)
Vezi și
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png) | Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui. |