Teorema lui Jordan

O funcție ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ este cu variație mărginită pe ${\displaystyle [a,b]}$ dacă și numai dacă ea se reprezintă ca diferența a două funcții crescătoare.

Proprietăți

1. Pentru orice funcție ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$, următoarele afirmații sunt echivalente:
   1. ${\displaystyle f}$ este cu variație mărginită pe ${\displaystyle [a,b]}$;
   2. ${\displaystyle f=g-h}$, cu ${\displaystyle g,h}$ strict crescătoare;
   3. ${\displaystyle f=g-h}$, cu ${\displaystyle g,h}$ strict crescătoare și pozitive;
   4. ${\displaystyle f=g-h}$, cu ${\displaystyle g,h}$ strict descrescătoare și negative;
   5. ${\displaystyle f=g-h}$, cu ${\displaystyle g,h}$ strict descrescătoare;
   6. ${\displaystyle f=g-h}$, cu ${\displaystyle g,h}$ descrescătoare;
2. Pentru orice funcție ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$, următoarele afirmații sunt echivalente:
   1. ${\displaystyle f}$ este cu variație mărginită pe ${\displaystyle [a,b]}$;
   2. ${\displaystyle f}$ se reprezintă ca diferența a două funcții monotone de același sens;
   3. ${\displaystyle f}$ se reprezintă ca diferența a două funcții strict monotone de același sens.
3. Orice funcție cu variație mărginită este o funcție riglată.
4. Mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ cu variație mărginită este cel mult numărabilă.
5. Subspațiul vectorial generat de mulțimea funcțiilor monotone este mulțimea funcțiilor cu variație mărginită.
6. Mulțimea funcțiilor ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ monotone nu este un spațiu vectorial, căci diferența a două funcții monotone nu este neapărat monotonă.

Bibliografie

• M. Megan, Bazele analizei matematice, Editura Eurobit.