Gibbs-Helmholtz ekvation

Gibbs-Helmholtz ekvation är en termodynamisk formel med namn efter Josiah Willard Gibbs och Hermann von Helmholtz.

Formeln lyder

( ∂ ( G T ) ∂ T ) p = − H T 2 {\displaystyle \left({\frac {\partial ({\frac {G}{T}})}{\partial T}}\right)_{p\,}=-{\frac {H}{T^{2}}}}

där G {\displaystyle G} är Gibbs fria energi, T {\displaystyle T} är temperaturen och H {\displaystyle H} är entalpin för systemet.

Bevis

Gibbs fria energi för ett slutet system är:

d G = − S d T + V d P {\displaystyle dG=-SdT+VdP\,}

vid konstant tryck, (dP = 0), kan Gibbs fria energi skrivas som

d G p = − S d T {\displaystyle dG_{p\,}=-SdT\,}

eller

( ∂ G ∂ T ) p = − S {\displaystyle \left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p\,}=-S\,}

Förhållandet mellan G/T och T erhålls via deriveringsregeln för en kvot, enligt följande:

( ∂ ( G T ) ∂ T ) p = ( ∂ G ∂ T ) p T − G T 2 = T ( ∂ G ∂ T ) p − G T 2 = − S T − G T 2 = − H T 2 {\displaystyle \left({\frac {\partial ({\frac {G}{T}})}{\partial T}}\right)_{p\,}={\frac {\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p\,}}{T}}-{\frac {G}{T^{2}}}={\frac {T\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p\,}-G}{T^{2}}}={\frac {-ST-G}{T^{2}}}={\frac {-H}{T^{2}}}}

Ibland skrivs entalpin för sig enligt;

H = ( ∂ ( G T ) ∂ ( 1 T ) ) p {\displaystyle H=\left({\frac {\partial ({\frac {G}{T}})}{\partial \left({\frac {1}{T}}\right)}}\right)_{p\,}}