Linjärkombinationen v → = 2 u → 1 + 1.5 u → 2 {\displaystyle {\vec {v}}=2{\vec {u}}_{1}+1.5{\vec {u}}_{2}} En linjärkombination är en summa bildad ur en mängd av termer och där varje term i summan multiplicerats med en konstant faktor. Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande matematiska områden.[ 1]
Om en vektor u {\displaystyle \mathbf {u} } linjärt rum kan skrivas
u = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n {\displaystyle \mathbf {u} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +c_{n}\mathbf {v} _{n}} där c 1 , c 2 , … , c n {\displaystyle \ c_{1},\ c_{2},\ \dots ,\ c_{n}} skalärer , är u {\displaystyle \mathbf {u} } { v 1 , v 2 , … , v n } {\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ \mathbf {v} _{2},\ \dots ,\ \mathbf {v} _{n}\}}
Exempel Vektorer En vektor skriven som en linjärkombination av två andra vektorer:
[ 7 2 ] = 1 ⋅ [ 1 2 ] + 2 ⋅ [ 3 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7\\2\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+2\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}} En vektor kan delas upp i komponenter i form av en linjärkombination:
( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 ( 1 , 0 , 0 ) + a 2 ( 0 , 1 , 0 ) + a 3 ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle \,(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})=a_{1}(1,\ 0,\ 0)\,+\,a_{2}(0,\ 1,\ 0)+a_{3}(0,\ 0,\ 1)} Funktioner Funktioner skrivna som linjärkombinationer av andra funktioner:
cos x = 1 2 e i x + 1 2 e − i x {\displaystyle \ \cos x={\frac {1}{2}}e^{ix}+{\frac {1}{2}}e^{-ix}} e i x = cos x + i sin x {\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x} Polynom Polynomet
x 2 − 2 x + 3 {\displaystyle \ x^{2}-2x+3} kan med hjälp av
v 1 = ( x 2 , 0 , 0 ) , v 2 = ( 0 , x , 0 ) , v 3 = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle \ v_{1}=(x^{2},\ 0,\ 0),\ v_{2}=(0,\ x,\ 0),\ v_{3}=(0,\ 0,\ 1)} skrivas som linjärkombinationen
v 1 − 2 v 2 + 3 v 3 {\displaystyle v_{1}-2v_{2}+3v_{3}} Referenser Sparr, Gunnar, 1942- (1995 ;). Linjär algebra . Studentlitteratur. OCLC 187001658. http://worldcat.org/oclc/187001658 . Läst 7 maj 2019 Noter ^ Hackman, Peter, 1944- (1999). Boken med Kossan på . Tekniska högskolan. OCLC 924414182. http://worldcat.org/oclc/924414182 . Läst 10 juni 2019
