Radonmått är inom matematiken viktig typ av mått i topologiska rum. En intuitiv återgivning för Radonmått är att den mäter storlek av mängder. De viktigaste Radonmåtten är Lebesguemåttet, Hausdorffmåttet och Haarmåttet.
Definition
Låt
vara ett topologiskt rum. Borelmåttet
i
är ett Radonmått, om
för alla kompakt mängder
.
för alla öppna mängder
.
för alla Borelmängder
.
Om
är ett Borelmått är
i
ett Radonmått om och endast om
är ett lokalt ändligt mått, dvs
- för alla
existerar
så att
för alla
.
Applikationer
Man behöver Radonmåttet i funktionalanalys och geometrisk måtteori.
Karakterisation med funktionaler
- Huvudartikel: Riesz representationssats.
Om
är ett lokalt kompakt Hausdorffrum, kan man karakterisera varje Radonmått i
med funktionaler. Man kan visa att
![{\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{c}(X)\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051f198749aee19be9978f9223c37db0a9792ef4)
är en positiv linjär funktional om och endast om där finns ett Radonmått
i
så att
![{\displaystyle F(f)=\int _{X}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d725c63c88305ff10db4dfc0c9cee2b97b4283)
för alla
. I litteraturen kallas ofta positiva linjära funktionaler Radonmått.
Hausdorffdimension
- Huvudartikel: Frostmans lemma.
Om
kan man karakterisera Hausdorffdimensionen för kompakt mängder med Radonmått. Låt
vara en kompakt mängd och
. Man kan visa att
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(K)>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6929156ac3943a998359c613b8a72dccea4c846)
om och endast om det finns ett Radonmått
i
så att
,
och ![{\displaystyle \mu (B(x,r))\leq c_{\mu }r^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1134143e2e617902528e743005156ad5e3542254)
för alla
och
där
.
Se även
- Radonintegral
- Massfördelning
Referenser
- Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, ISBN 0195605160