Selmergrupp

Inom aritmetisk geometri är en Selmergrupp, uppkallad efter Selmer (1951), en grupp som konstrueras från en isogeni av abelska varieteter. Selmergruppen av en abelsk varietet A i förhållande till isogenin f : A → B av abelska varieteter kan definieras med hjälp av Galoiskohomologin som

${\displaystyle \mathrm {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\mathrm {ker} (H^{1}(G_{K},\mathrm {ker} (f))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\mathrm {im} (\kappa _{v}))}$

där A_v[f] betecknar f-torsionen av A_v och ${\displaystyle \kappa _{v}}$ är den lokala Kummertransformationen ${\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])}$. Notera att ${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\mathrm {im} (\kappa _{v})}$ är isomorfisk till ${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]}$. Geometriskt har alla principiella homogena rum som uppstår från element av Selmergruppen K_v-rationella punkter för alla ställen v av K. Selmergruppen är ändlig. Av detta följer att delen av Tate–Sjafarevitjgruppen som annihileras av f är ändlig p.g.a. följande exakta följd

0 → B(K)/f(A(K)) → Sel^(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0.

Selmergruppen i mitten av följden är ändlig och effektivt beräknelig. Av detta följer den svaga Mordell-Weilsatsen att dess delgupp B(K)/f(A(K)) är ändlig.

Ralph Greenberg har generaliserat Selmergrupper till mer allmänna p-adiska Galoisrepresentationer och p-adiska variationer av motiver i samband med Iwasawateori.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Selmer group, 12 oktober 2012.

• Cassels, John William Scott (1962), ”Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, MR 0163913, ISSN 0024-6115 
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, "24", Cambridge University Press, MR 1144763, ISBN 978-0-521-41517-0, http://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C 
• Châtelet, François (1946), ”Méthode galoisienne et courbes de genre un”, Annales de L'Université de Lyon Sect. A. (3) 9: 40–49, MR 0020575 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, "201", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5 
• Greenberg, Ralph (1994), ”Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives”, i Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0 
• Lang, Serge; Tate, John (1958), ”Principal homogeneous spaces over abelian varieties”, American Journal of Mathematics 80: 659–684, MR 0106226, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372778 
• Selmer, Ernst S. (1951), ”The Diophantine equation ax³ + by³ + cz³  = 0”, Acta Mathematica 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, MR 0041871, ISSN 0001-5962 
• Shafarevich, I. R. (1959), ”The group of principal homogeneous algebraic manifolds” (på ryska), Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, MR 0106227 English translation in his collected mathematical papers, ISSN 0002-3264 
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, "13", Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0 
• Weil, André (1955), ”On algebraic groups and homogeneous spaces”, American Journal of Mathematics 77: 493–512, MR 0074084, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372637