Basamak (matematik)

Basamak veya hane, matematikte bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birinin o sayı içerisindeki konumunu ifade eder.

a, b, c birer rakam olmak üzere;

ab sayısı iki basamaktan oluştuğu için "iki basamaklı",
abc sayısı üç basamaktan oluştuğu için "üç basamaklı"

olarak adlandırılır.

Onluk sayı sisteminde, tam sayılarda en sağdaki basamak "birler basamağı" onun solundaki "onlar basamağı", onun solundaki "yüzler basamağı" şeklinde adlandırılır. Basamak adları, 10'un artan üsleri şeklinde sonsuza kadar devam eder.[1]

Basamaklar, bir sayının sözlü ve yazılı olarak ifade edilmesini kolaylaştırır.

Basamak değeri ve sayı değeri

Rakamların bulunduğu basamağa göre aldığı değere basamak değeri denir. Salt rakamın kendisi de rakımın sayı değeri’ni gösterir.[2]

Örnek:

237 sayısının basamak ve sayı değerleri nedir?

237: 2, yüzler basamağı; 3, onlar basamağı; 7, birler basamağı

Basamak Basamak Değeri Sayı Değeri
Birler 7 ⋅ 1 = 7 {\displaystyle 7\cdot 1=7} 7
Onlar 3 ⋅ 10 = 30 {\displaystyle 3\cdot 10=30} 3
Yüzler 2 ⋅ 100 = 200 {\displaystyle 2\cdot 100=200} 2

Çözümleme

Bir sayının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına, çözümleme denir.[1]

Örnek:
237 = ( 2 ⋅ 100 ) + ( 3 ⋅ 10 ) + ( 7 ⋅ 1 ) = 200 + 30 + 7 {\displaystyle 237=(2\cdot 100)+(3\cdot 10)+(7\cdot 1)=200+30+7}

Üslü İfade

Onluk sistemde basamak değerlerinin, 1, 10, 100 gibi çarpanları, 10'un artan üsleri (10n) şeklinde de gösterilebilir. Kuvvetler, sağdan sola doğru artar: 100, 101, 102 gibi. Herhangi bir basamaktaki rakamın konum değeri, o rakamın ilgili basamağa denk gelen üslü sayı ile çarpılması sonucu elde edilir.[1]

Basamak Üslü Değer Sonuç Değer
Birler 10 0 {\displaystyle 10^{0}} 1
Onlar 10 1 {\displaystyle 10^{1}} 10
Yüzler 10 2 {\displaystyle 10^{2}} 100
Örnek:
756 = ( 7 ⋅ 10 2 ) + ( 5 ⋅ 10 1 ) + ( 6 ⋅ 10 0 ) {\displaystyle 756=(7\cdot 10^{2})+(5\cdot 10^{1})+(6\cdot 10^{0})}

Ondalıklı Sayılar

Rasyonel ya da irrasyonel sayılar kümesinde bulunan, 2,4537 gibi virgüllü (ondalıklı) sayılarda, virgülün sağındaki ilk basamak "onda birler basamağı" (10−1), ikinci basamak "yüzde birler" basamağı (10−2), üçüncü basamak "binde birler" basamağı (10−3) vs... şeklinde adlandırılır.[2]

Örnek:
0 , 184 = 0 ⋅ 10 0 + 1 ⋅ 10 − 1 + 8 ⋅ 10 − 2 + 4 ⋅ 10 − 3 {\displaystyle 0,184=0\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}+8\cdot 10^{-2}+4\cdot 10^{-3}}

Örnekler

1. Farklı rakamlar kullanılarak yazılan üç basamaklı iki sayının toplamı en çok kaçtır (her rakam sadece bir kere kullanılabilir)?

Toplamda en büyük sayı aranıyor. Üç basamaklı bir sayının en yüksek olması için, en büyük basamak (yüzler basamağı) olabildiğince yüksek olmalıdır. Dolayısıyla, bu iki sayının birincisinin yüzler basamağında 9 bulunmalıdır. İkinci sayıda 9 rakamı kullanılamayacağı için 8, yüzler basamağındadır. Diğer basamaklarda da aynı mantık işletilir.

Çözüm:

975 864 1839 {\displaystyle {\frac {\begin{matrix}975\\864\end{matrix}}{1839}}}

2. Üç basamaklı dört doğal sayının onlar basamakları 3 azaltılıp, yüzler basamakları 2 arttırılırsa toplam sonuç nasıl değişir?

Çözüm: (+2)(-3)0

Yüzler basamağı 2 arttırılırsa, her sayı 2 ⋅ 100 = 200 {\displaystyle 2\cdot 100=200} artar. 4 sayı, 200 ⋅ 4 = 800 {\displaystyle 200\cdot 4=800} artar. Onlar basamağı 3 azaltılırsa her sayı 3 ⋅ 10 = 30 {\displaystyle 3\cdot 10=30} azalır. 4 sayı, 30 ⋅ 4 = 120 {\displaystyle 30\cdot 4=120} azalır. Toplam: 800 − 120 = 680 {\displaystyle 800-120=680} artar.

3. x = ( 0.01 ) 3 ⋅ ( 0.001 ) 2 {\displaystyle x=(0.01)^{3}\cdot (0.001)^{2}} olduğuna göre y x {\displaystyle {\frac {y}{x}}} sayısı kaç basamaklıdır?

Çözüm:
x = ( 10 − 2 ) 3 ⋅ ( 10 − 3 ) 2 = 10 − 6 ⋅ 10 − 6 = 10 − 12 {\displaystyle x=(10^{-2})^{3}\cdot (10^{-3})^{2}=10^{-6}\cdot 10^{-6}=10^{-12}}
y = 2 5 ⋅ 3 4 − 2 ⋅ 3 4 3 6 + 3 4 {\displaystyle y={\frac {2^{5}\cdot 3^{4}-2\cdot 3^{4}}{3^{6}+3^{4}}}}
y = ( 32 − 2 ) ⋅ 3 4 3 2 ⋅ 3 4 + 3 4 = 30 ⋅ 3 4 ( 9 + 1 ) ⋅ 3 4 = 30 10 = 3 {\displaystyle y={\frac {(32-2)\cdot 3^{4}}{3^{2}\cdot 3^{4}+3^{4}}}={\frac {30\cdot 3^{4}}{(9+1)\cdot 3^{4}}}={\frac {30}{10}}=3}
y x = 3 10 − 12 = 3 ⋅ 10 12 ⟹ 13 {\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {3}{10^{-12}}}=3\cdot 10^{12}\implies 13} basamaklıdır.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ a b c Modern School Mathematics Book - 6. Choudhari (İngilizce). Orient Blackswan. 2002. ss. 3-4. 8 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 8 Şubat 2021. 
  2. ^ a b Liking Mathematics in the Grade School (İngilizce). Rex Bookstore, Inc. ss. 12, 156. ISBN 978-971-23-1806-1.