Bất đẳng thức Harnack

Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích.

Cho ${\displaystyle D=D(z_{0},R)}$ là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm với mọi ${\displaystyle z\in D}$. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi ${\displaystyle z\in D}$:

${\displaystyle 0\leq f(z)\leq \left({\frac {R}{R-\left|z-z_{0}\right|}}\right)^{2}f(z_{0}).}$

Đối với miền tổng quát ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu ${\displaystyle u(x)}$ là hàm khả vi hai lần, điều hòa và không âm, ${\displaystyle \omega }$ là một miền bị chặn với ${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$, thì sẽ có một hằng số ${\displaystyle C}$ không phụ thuộc vào ${\displaystyle \Omega }$ sao cho ${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)}$.

Tham khảo