Hình học elliptic

Hình học
Hình chiếu một mặt cầu lên mặt phẳng.
Đại cương Lịch sử
Phân nhánh Euclid Phi Euclid Elliptic Cầu Hyperbol Hình học phi Archimedes Chiếu Afin Tổng hợp Giải tích Đại số Số học Diophantos Vi phân Riemann Symplectic Phức Hữu hạn Rời rạc Kỹ thuật số Lồi Tính toán Fractal Liên thuộc
Khái niệm Chiều Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa Đỉnh Đường cong Đường chéo Góc Song song Vuông góc Đối xứng Đồng dạng Tương đẳng
Không chiều Điểm
Một chiều Đường thẳng Đoạn thẳng Tia Chiều dài
Hai chiều Mặt phẳng Diện tích Đa giác Tam giác Đường cao (tam giác) Cạnh huyền Định lý Pythagoras Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Rhomboid Tứ giác Hình thang Hình diều Đường tròn Đường kính Chu vi Diện tích
Ba chiều Thể tích Khối lập phương Hình hộp chữ nhật Hình trụ tròn Hình chóp Mặt cầu
Bốn chiều / số chiều khác Tesseract Siêu cầu
Nhà hình học
theo tên Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Trương Hành
theo giai đoạn trước Công nguyên Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Trương Hành Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Ngày nay Atiyah Gromov
x t s

Hình học elliptic là một ví dụ về hình học trong đó tiên đề song song của Euclid là không đúng. Thay vào đó, như trong hình học cầu, không có đường thẳng song song vì hai đường thẳng trên mặt cầu luôn giao nhau. Tuy nhiên, không giống như trong hình học cầu, hai đường thường được giả định là giao nhau tại một điểm (chứ không phải hai). Bởi vì điều này, hình học elip được mô tả trong bài viết này đôi khi được gọi là hình học elliptic đơn trong khi hình học hình cầu đôi khi được gọi là hình học elliptic đôi.

Sự xuất hiện của hình học này trong thế kỷ XIX đã kích thích sự phát triển của hình học phi Euclide nói chung, bao gồm cả hình học hyperbol.

Hình học elliptic có nhiều tính chất khác với các đặc tính của hình học phẳng Euclide cổ điển. Ví dụ: tổng các góc trong của bất kỳ tam giác nào luôn lớn hơn 180°.

Định nghĩa

Trong hình học elip, hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho phải cắt nhau. Trong thực tế, các đường vuông góc ở một phía tất cả giao nhau tại một điểm duy nhất gọi là cực tuyệt đối của đường thẳng đó. Các đường vuông góc ở phía bên kia cũng giao nhau tại một điểm. Tuy nhiên, không giống như trong hình học hình cầu, các cực ở hai bên là như nhau. Điều này là do không có điểm đối cực trong hình học elip. Ví dụ, điều này đạt được trong mô hình siêu phẳng (được mô tả bên dưới) bằng cách tạo các "điểm" trong hình học của chúng ta thực sự là các cặp điểm đối diện trên một hình cầu. Lý do để làm điều này là vì nó cho phép hình học elliptic thỏa mãn tiên đề rằng có một đường thẳng duy nhất đi qua hai điểm bất kỳ.

Mỗi điểm tương ứng với một đường cực tuyệt đối mà nó là cực tuyệt đối. Bất kỳ điểm nào trên đường cực này tạo thành một cặp liên hợp tuyệt đối với cực. Một cặp điểm như vậy là trực giao và khoảng cách giữa chúng là một góc phần tư.^{[1] :89}

Tham khảo