Àlgebra de Dirichlet

En matemàtiques, una àlgebra de Dirichlet és un tipus particular d'àlgebra associada a un espai compacte de Hausdorff X. És una subàlgebra tancada de C(X), l'àlgebra uniforme de funcions contínues acotades en X, les parts reals de les quals són denses en l'àlgebra de funcions reals contínues acotades en X. El concepte va ser introduït per Andrew Gleason el 1957.

Exemple

${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ deixa de ser el conjunt de totes les funcions racionals que són contínues en ${\displaystyle X}$; en altres paraules, funcions que no tenen pols en ${\displaystyle X}$. Aleshores

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}(X)+{\bar {{\mathcal {R}}(X)}}}$

és una *-subàlgebra de ${\displaystyle C(X)}$, i de ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$. Si ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ és dens en ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$, diem que ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ és una àlgebra de Dirichlet.

Es pot demostrar que si un operador ${\displaystyle T}$ té ${\displaystyle X}$ com un conjunt espectral, i ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ és una àlgebra de Dirichlet, llavors ${\displaystyle T}$ té una dilació límit normal. Aquest teorema generalitza la dilatació de Sz.-Nagy, que pot ser vist com una conseqüència en permetre-ho

${\displaystyle X=\mathbb {D} .}$

Referències

• Gleason, Andrew M. «Function algebras». A: Seminars on analytic functions: seminar III : Riemann surfaces ; seminar IV : theory of automorphic functions ; seminar V : analytic functions as related to Banach algebras. 2. Institute for Advanced Study, Princeton, 1957, p. 213–226. 
• Nakazi, T. Michiel Hazewinkel (ed.). Dirichlet algebra. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Completely Bounded Maps and Operator Algebras Vern Paulsen, 2002 ISBN 0-521-81669-6
• Wermer, John «Andrew M. Gleason 1921–2008». Notices of the American Mathematical Society, 56, 10, novembre 2009, p. 1248–1251. «Gleason's work on Banach algebras».