Òrbita el·líptica

S'anomena òrbita el·líptica a la d'un astre que gira entorn d'un altre descrivint una el·lipse.^[1] L'astre central se situa en un dels focus de l'el·lipse. A aquest tipus pertanyen les òrbites dels planetes del sistema solar. En astrodinàmica o mecànica celeste i geometria una òrbita el·líptica té una excentricitat més gran que zero i menor que u (si té excentricitat zero és una òrbita circular, amb excentricitat u és una òrbita parabòlica i amb una excentricitat major que u, és una òrbita hiperbòlica). L'energia específica d'una òrbita el·líptica és negativa.^[2]

Exemples d'òrbites el·líptiques inclouen l'òrbita de transferència Hohmann (executada quan un satèl·lit canvia la cota de gir orbital), l'òrbita Molniya i l'òrbita tundra.

Punts notables d'una trajectòria el·líptica

Els punts notables són aquells que es descriuen com a únics i característics de la trajectòria, d'aquesta forma es té:

• Periheli, o lloc més proper de la trajectòria al cos central (en el cas de la Terra, al Sol). Es denomina també perigeu.
• Afeli, o al contrari que el periheli és el lloc més allunyat de la trajectòria. Es denomina també apogeu.

Velocitat

Sota les suposicions estàndard en astrodinàmica la velocitat orbital (${\displaystyle v\,}$) d'un cos que descriu una òrbita sobre una òrbita el·líptica es pot calcular com:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \left({1 \over {r}}-{1 \over {2a}}\right)}}}$

On:

• ${\displaystyle \mu \,}$ és un paràmetre gravitacional estàndard,
• ${\displaystyle r\,}$ és la distància radial des del cos orbitante al cos central,
• ${\displaystyle a\,\!}$ és la longitud del semi-eix major de l'el·lipse.

Conclusions:

• La velocitat no depèn de l'excentricitat però no obstant això es pot determinar per la longitud del semi-eix major (${\displaystyle a\,\!}$),
• L'equació de la velocitat és molt similar a l'obtinguda en les trajectòries hiperbòliques amb la diferència que l'expressió per ${\displaystyle {1 \over {2a}}}$ és positiva.

Període orbital

Sota les suposicions estàndard en astrodinàmica el període orbital (${\displaystyle T\,\!}$) d'un cos que viatja sobre una trajectòria el·líptica pot ser calculat mitjançant la següent fórmula:

${\displaystyle T={2\pi \over {\sqrt {\mu }}}a^{3 \over {2}}}$

On:

• ${\displaystyle \mu \,}$ és un paràmetre gravitacional estàndard,
• ${\displaystyle a\,\!}$ és la longitud del semi-eix major de l'el·lipse.

Conclusions:

• El període orbital és igual que el d'un cos que viatja en una òrbita circular amb radi igual al semieix major de l'el·lipse (${\displaystyle a\,\!}$),
• El període orbital no depèn de l'excentricitat (Vegeu també: tercera llei de Kepler)

Energia

Sota les suposicions estàndards en astrodinàmica, l'energia específica orbital (${\displaystyle \epsilon \,}$) d'un cos que es mou en una òrbita el·líptica és negativa i l'equació de conservació d'energia orbital per a aquesta òrbita pren la forma de:

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

On:

• ${\displaystyle v\,}$ és la velocitat orbital del cos que orbita,
• ${\displaystyle r\,}$ és la distància radial entre el cos orbitante i el cos central,
• ${\displaystyle a\,\!}$ és la longitud del semi-eix major de l'el·lipse.
• ${\displaystyle \mu \,}$ és un paràmetre gravitacional estàndard,

Conclusions:

• L'energia específica orbital per a un moviment el·líptic és independent de l'excentricitat i està determinat només pel semi-eix major de l'el·lipse.

Usant el teorema de virial resulta que:

• El temps mitjà de l'energia potencial específica és igual a 2ε
• El temps mitjà de r^-1 és a^-1
• El temps mitjà de l'energia cinètica específica és igual a-ε

Referències

Vegeu també

• Lleis de Kepler

Bibliografia

• D'Eliseo, MM «The first-order orbital equation». American Journal of Physics, 75, 4, 2007, pàg. 352–355. Bibcode: 2007AmJPh..75..352D. DOI: 10.1119/1.2432126.
• D'Eliseo, MM; Mironov, Sergey V. «The gravitational ellipse». Journal of Mathematical Physics, 50, 2009, pàg. 022901–022901. arXiv: 0802.2435. Bibcode: 2009JMP....50a2901M. DOI: 10.1063/1.3078419.
• Curtis, Howard. Orbital Mechanics for Engineering Students. Butterworth-Heinemann, 2009. ISBN 978-0123747785. 

Enllaços externs

• JAVA applet que calcula òrbites de stèl·lits Arxivat 2011-07-19 a Wayback Machine.
• Apogeu- Perigeu Comparació fotogràfica de la Lluna.
• http://www.castor2.ca/02_Armchair/02_Orbits/05_Tundra/index.html^{[Enllaç no actiu]}