Càmpila d'Eudoxe

La càmpila d'Èudox (Grec: καμπύλη [γραμμή;], significa simplement "curvilini, corba") és una corba, amb una equació cartesiana:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}+y^{2}}$

de la qual s'ha d'excloure la solució x = y = 0, o, en coordenades polars:

${\displaystyle r=\sec ^{2}\theta \,.}$

Aquesta corba quàrtica va ser estudiada per l'astrònom i el matemàtic grec Èudox de Cnidos (circa. 408 Bc - c.347 Bc) en relació amb el problema clàssic de duplicació del cub.

La càmpila és simètrica tant respecte de l'eix ${\displaystyle x}$ com del ${\displaystyle y}$-axes. Talla l'eix ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle (-1,0)}$ i ${\displaystyle (1,0)}$. Té punts d'inflexió a

${\displaystyle (\pm {\sqrt {3/2}},\pm {\sqrt {3}}/2)}$

(quatre punts d'inflexió, un en cada quadrant). La primera meitat de la corba és asimptòtica a ${\displaystyle x^{2}-{\frac {1}{2}}}$ quan ${\displaystyle x\to \infty }$, i de fet es pot escriure com

${\displaystyle y=x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}=x^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{n\geq 0}C_{n}(2x)^{-2n}}$

on

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

és l'n-èsim nombre de Catalan.

Vegeu també

• Llista de corbes

Referències

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, p. 141–142. ISBN 0-486-60288-5. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Kampyle of Eudoxus» a MathWorld (en anglès).