Conjunt obert

En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia.^[1]

Per exemple, a ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ amb la topologia euclidiana, diem que ${\displaystyle (0,1)\,}$ és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor ${\displaystyle x\,}$ tal que ${\displaystyle 0<x<1\,}$ sempre podrem trobar un valor ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ tal que la bola (obert de la topologia) ${\displaystyle (x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subset (0,1)\,}$.

En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt ${\displaystyle (0,1]\,}$, no podríem dir el mateix, ja que per ${\displaystyle x=1\,}$ no existeix cap ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ que compleixi la condició.

El fet que un cert conjunt sigui obert o tancat no depèn dels elements de l'espai sinó també de la topologia que s'hi defineix. Així per exemple el cas anterior, ${\displaystyle (0,1)\,}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, no és un obert si prenem la topologia grollera.

Definicions

Espais topològics

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.^[2]

Donat un conjunt ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$, sigui ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ un conjunt qualsevol de subconjunts de ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$, que compleix les següents propietats.

• La unió arbitrària de conjunts de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ és un conjunt de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$.
• La intersecció finita de conjunts de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$, és un conjunt de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$.
• Els conjunts ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$ i ${\displaystyle \emptyset \,}$ pertanyen a ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$.

Amb aquestes condicions, ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$ és un espai topològic, i a ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ se l'anomena topologia de ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$, i per definició, els conjunts de ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ són conjunts oberts.

L'espai topològic ve especificat per la parella ${\displaystyle (\mathrm {X} ,\mathbf {T} )\,}$.

Cal observar que si es considera un conjunt ${\displaystyle \mathrm {X} \,}$ amb dues topologies diferents, ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ i ${\displaystyle \mathbf {T'} \,}$, es tenen dos espais topològics diferents.

Espais mètrics

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:^[3]

Sigui ${\displaystyle U\,}$ un subconjunt d'un espai mètric ${\displaystyle (M,d)\,}$, es dirà que ${\displaystyle U\,}$ és obert si:

${\displaystyle \forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;\forall y\in M,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in U\,}$

Espais vectorials normats

En el cas dels espais vectorials normats, com espais mètrics que són, es pot dir que un conjunt ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}\,}$ és obert si:^[4]

${\displaystyle \forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;B_{\varepsilon }(x)\subset U\,}$

on ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x)\,}$ és la bola centrada a ${\displaystyle x\,}$ i de radi ${\displaystyle \varepsilon \,}$

Un conjunt obert a ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. (${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ i ${\displaystyle \emptyset \,}$ també són oberts).

Propietats

Cada subconjunt ${\displaystyle A\,}$ d'un espai topològic ${\displaystyle X\,}$ conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunts oberts, s'anomena interior de ${\displaystyle A\,}$, que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en ${\displaystyle A\,}$.

Donats dos espais topològics, ${\displaystyle X,Y\,}$, una funció ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,}$ és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en ${\displaystyle Y\,}$ és oberta en ${\displaystyle X\,}$.^[5]

Referències

Vegeu també

• Conjunt tancat
• Transformada de Berezin