Constant de Glaisher-Kinkelin

En matemàtiques, la constant de Glaisher-Kinkelin o simplement constant de Glaisher, anotada típicament A, és una constant matemàtica relacionada amb la funció K i la funció G de Barnes. La constant apareix en cert nombre de sumatoris i integrals, especialment els relacionats amb la funció gamma i la funció zeta de Riemann. Rep el nom del matemàtic anglès James Whitbread Lee Glaisher i el suís Hermann Kinkelin.

Valor

El valor de la constant és:

A ≈ 1.2824271291 … {\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots } (successió A074962 a l'OEIS).

Expressions de A

La constant A {\displaystyle A} pot ser donada pel límit:

A = lim n → ∞ K ( n + 1 ) n n 2 / 2 + n / 2 + 1 / 12 e − n 2 / 4 {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}


on K ( n ) = ∏ k = 1 n − 1 k k {\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}} és la funció K. Relacionant aquesta funció amb la funció G de Barnes:

G ( n ) = ∏ k = 1 n − 2 k ! = [ Γ ( n ) ] n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}

on Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} és la funció gamma, tindrem la identitat següent:

A = lim n → ∞ ( 2 π ) n / 2 n n 2 / 2 − 1 / 12 e − 3 n 2 / 4 + 1 / 12 G ( n + 1 ) {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}} .

La constant de Glaisher-Kinkelin apareix en la funció zeta de Riemann:

ζ ′ ( − 1 ) = 1 12 − ln ⁡ A {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}
ζ ′ ( 2 ) = − ∑ k = 2 ∞ ln ⁡ k k 2 = − π 2 6 [ 12 ln ⁡ A − γ − ln ⁡ ( 2 π ) ] {\displaystyle \zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]}

on γ {\displaystyle \gamma } és la constant d'Euler-Mascheroni

Algunes integrals relacionades amb la constant són:

∫ 0 1 / 2 ln ⁡ Γ ( x ) d x = 3 2 ln ⁡ A + 5 24 ln ⁡ 2 + 1 4 ln ⁡ π {\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi }
∫ 0 ∞ x ln ⁡ x e 2 π x − 1 d x = 1 2 ζ ′ ( − 1 ) = 1 24 − 1 2 ln ⁡ A {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A}

Una representació en sèrie de la constant és la donada d'una sèrie de la funció zeta de Riemann atribuïda a Helmut Hasse:

ln ⁡ A = 1 8 − 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) 2 ln ⁡ ( k + 1 ) {\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}

Referències

  • Weisstein, Eric W., «Glaisher–Kinkelin Constant» a MathWorld (en anglès).
  • Weisstein, Eric W., «Riemann Zeta Function» a MathWorld (en anglès).

Enllaços externs

  • La constant de Glaisher–Kinkelin fins a 20,000 decimals Arxivat 2011-03-13 a Wayback Machine.