Cub xato

Infotaula de polítopCub xato
Model 3D
TipusPolíedre arquimedià
Forma de les caresTriangles i quadrats
Configuració de vèrtexpentàgon Modifica el valor a Wikidata
Símbol de Schläflisr{4,3} Modifica el valor a Wikidata
Cares per vèrtex5
Vèrtexs per cara3 i 4
SimetriaO o S₄
Dualicositetràedre pentagonal
PropietatsSemi-regular i convex
Elements
Cares38 (32 triangles i 6 quadrats)
Arestes60
Vèrtexs24
Característica2
Més informació
MathWorldSnubCube Modifica el valor a Wikidata

En geometria, el cub xato és un dels tretze políedres arquimedians. Té 38 cares, 6 de les quals són quadrades i 32 triangulars, 60 arestes i a cadascun dels seus 24 vèrtex i concorren una cara quadrada i quatre cares triangulars. És un sòlid quiral que es presenta en dues formes enantiomorfes.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un cub xato tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents: A = ( 6 + 8 3 ) a 2 V = ( 3 8 3 R 2 − 1 + 4 R 2 − 2 ) a 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&A=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&V=\left({\frac {3}{8}}{\sqrt {3R^{2}-1}}+{\sqrt {4R^{2}-2}}\right)a^{3}\\\end{aligned}}}

On R és el radi de l'esfera circumscrita.

Esfera circumscrita

Una construcció geomètrica de la constant de Tribonacci (AC), amb un compàs i una regla marcada, segons el mètode descrit per Xerardo Neira.

El radi R de l'esfera circumscrita és:

R = a 3 − t 4 ( 2 − t ) {\displaystyle R=a{\sqrt {\frac {3-t}{4\left(2-t\right)}}}}

On a és la longitud de les arestes i t és la constant tribonacci (el limit al que tendeix la raó entre dos nombres consecutius de l'extensió de la successió de Fiboncci basada en començar per tres nombres: 0,0 i 1 i obtenir cada nombre com a suma dels tres anteriors), és a dir la solució real de l'equació:

t 3 − t 2 − t − 1 = 0 {\displaystyle t^{3}-t^{2}-t-1=0\,}

Que aplicant la fórmula de l'equació de tercer grau dona:

t = 1 3 ( 1 + 19 − 3 33 3 + 19 + 3 33 3 ) {\displaystyle t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)}

Dualitat

El políedre dual del cub xato és l'icositetràedre pentagonal.

Desenvolupament pla del cub xato

Simetries

El grup de simetria del cub xato és; el grup octàedric O ≅ S 4 {\displaystyle O\cong S_{4}} . de les simetries que preserven les orientacions del cub, l'octàedre, i de l'octàedre.

Políedres relacionats

El cub xato es pot obtenir a partir del cub a base de separar les 6 cares quadrades i girar-les lleugerament fins que l'espai entre elles es pugui omplir per corones de triangles equilàters.

Vegeu també

Bibliografia

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
  • Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs

  • Paper models of Archimedean solids
  • Snub cube Article sobre el cub xato a mathworld.