Disjunció exclusiva

Diagrama de Venn per ${\displaystyle ~A\oplus B}$ ${\displaystyle ~\oplus ~}$ ${\displaystyle ~\Leftrightarrow ~}$

Diagrama de Venn per a ${\displaystyle ~A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle ~\oplus ~}$ ${\displaystyle ~\Leftrightarrow ~}$

L'operador lògic disjunció exclusiva, també anomenat o exclusiva, simbolitzat com XOR, EOR, EXOR, ⊻ o ⊕ és un tipus de disjunció lògica de dos operands que és veritat si només un operand és veritat però no ambdós.^[1]

Equivalències, simplificació, i introducció

La disjunció exclusiva ${\displaystyle p\oplus q}$ es pot expressar en termes de conjunció lògica (${\displaystyle \wedge }$), disjunció lògica (${\displaystyle \lor }$), i negació (${\displaystyle \lnot }$) de la següent manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}$

La disjunció exclusiva ${\displaystyle p\oplus q}$ pot ser expressada de la següent manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}}$

Aquesta representació del XOR pot ser útil en la construcció d'un circuit o una xarxa, ja que només té un operador ${\displaystyle \lnot }$ i un nombre reduït d'operadors ${\displaystyle p\oplus q}$ i ${\displaystyle \lor }$. La prova d'aquesta identitat és la següent:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}}$

De vegades és útil escriure ${\displaystyle p\oplus q}$ de les següents formes:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}$

Aquesta equivalència es pot establir mitjançant l'aplicació de les Lleis de De Morgan dues vegades per la quarta línia de la prova anterior.

Referències

Vegeu també

• Àlgebra booleana
• Porta lògica
• Disjunció lògica
• Conjunció lògica
• Operador a nivell de bits
• Funció booleana
• Lògica proposicional
• Modus tollendo ponens
• Lògica de primer ordre
• Valor de veritat
• Operació matemàtica
• Bit de paritat