Factorial esquerre

En matemàtiques, es coneix com a factorial esquerre la funció definida com ! n := ∑ k = 0 n − 1 k ! {\displaystyle !n:=\sum _{k=0}^{n-1}k!} ,[1] tot i que sovint s'empra la mateixa notació per referir-se al subfactorial.[2] Per evitar aquesta confusió, alguns autors utilitzen la notació L ! n := ∑ k = 0 n − 1 k ! {\displaystyle L!n:=\sum _{k=0}^{n-1}k!} . Aquesta funció fou definida per primer cop pel matemàtic iugoslau Đuro Kurepa al seu treball On the left factorial function !n l'any 1971.[1]

Primers termes

Els primers termes de la successió a n = ! n {\displaystyle a_{n}=!n} , començant en n = 0 {\displaystyle n=0} , són 0, 1, 2, 4, 10, 34, 154, 874, 5914, 46234, 409114, 4037914, 43954714, 522956314, 6749977114, 93928268314, 1401602636314, 22324392524314, 378011820620314, 6780385526348314, 128425485935180314, 2561327494111820314 i 53652269665821260314.[3] De fet, és trivial demostrar que tots els termes a partir d' a 2 {\displaystyle a_{2}} són parells.

Expressions equivalents

El factorial esquerre pot expressar-se de manera relativament senzilla a partir de la funció gamma incompleta Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma (a,x)} com

! n = ( − 1 ) n Γ ( n + 1 , 0 ) Γ ( − n , − 1 ) − Γ ( 0 , − 1 ) e {\displaystyle !n={\frac {(-1)^{n}\,\Gamma (n+1,0)\,\Gamma (-n,-1)-\Gamma (0,-1)}{e}}\,} .[2]

Referències

  1. ↑ 1,0 1,1 Andrejic, Vladica; Tatarevic, Milos. «Searching for a counterexample to Kurepa's Conjecture» (en anglès). Belgrad: Universitat de Belgrad, 29-07-2015. [Consulta: 2 juny 2016].
  2. ↑ 2,0 2,1 Weisstein, Eric W., «Factorial esquerre» a MathWorld (en anglès).
  3. ↑ (successió A003422 a l'OEIS)

Vegeu també

  • Conjectura de Kurepa