Funció sinc

Sinc
Part de la funció sinc normalitzada i desnormalitzada que es mostra a la mateixa escala
Part de la funció sinc normalitzada (blau) i la funció sinc desnormalitzada (vermell) mostrada a la mateixa escala
Informació general
Definició general sinc ⁡ x = { sin ⁡ x x , x ≠ 0 1 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\[2px]1,&x=0\end{cases}}}
Motiu de la invencióTelecommunicacions
Data de la solució1952
Camps d'aplicacióProcessament de senyals, espectroscòpia
Domini, codomini i imatge
Domini R {\displaystyle \mathbb {R} }
Imatge [ − 0.217234 … , 1 ] {\displaystyle \left[-0.217234\ldots ,1\right]}
Característiques bàsiques
ParitatParell
Valors específics
A zero1
Valor a +∞0
Valor a −∞0
Màxim1 at x = 0 {\displaystyle x=0}
Mínim − 0.21723 … {\displaystyle -0.21723\ldots } at x = ± 4.49341 … {\displaystyle x=\pm 4.49341\ldots }
Característiques específiques
Arrel π k , k ∈ Z ≠ 0 {\displaystyle \pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}
Funcions relacionades
Recíproca { x csc ⁡ x , x ≠ 0 1 , x = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}
Derivada sinc ′ ⁡ x = { cos ⁡ x − sinc ⁡ x x , x ≠ 0 0 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}
Primitiva ∫ sinc ⁡ x d x = Si ⁡ ( x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C}
Definició amb sèries
Sèrie de Taylor sinc ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{k}{x}^{2k}}{\left(2k+1\right)!}}}

En matemàtica, la funció sinc o sinus cardinal, denotada per s i n c ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,} , té dues definicions, la normalitzada i la desnormalitzada que es defineixen de la següent manera:[1][2][3]

  1. En processament digital de senyals i teoria de la informació, la funció sinc normalitzada comunament es defineix com:
    s i n c n ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} _{n}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}
  2. En matemàtica, la històrica funció sinc desnormalitzada , aquesta definida per:
    s i n c ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}

En ambdós casos el valor de la funció té una singularitat evitable en zero, que generalment es redefineix específicament com a igual a 1. La funció sinc és analítica a tot arreu.[4]

La funció desnormalitzada és idèntica a la normalitzada excepte pel factor d'escala que falta en l'argument. La funció sinc correspon a la transformada de Fourier d'un pols rectangular, i la transformada inversa de Fourier d'un espectre rectangular és una sinc.

Propietats

  1. ∫ − ∞ + ∞ s i n c N ( x )   d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} _{N}(x)\ dx=1}
  2. ∫ − ∞ + ∞ s i n c ( x )   d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sinc} (x)\ dx=\pi }

Referències

  1. ↑ Woodward, P. M.; Davies, I. L. «Information theory and inverse probability in telecommunication». Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering, 99, 58, març 1952, pàg. 37–44. DOI: 10.1049/pi-3.1952.0011.
  2. ↑ Poynton, Charles A. Digital video and HDTV. Morgan Kaufmann Publishers, 2003, p. 147. ISBN 1-55860-792-7. 
  3. ↑ Woodward, Phillip M. Probability and information theory, with applications to radar. Londres: Pergamon Press, 1953, p. 29. ISBN 0-89006-103-3. OCLC 488749777. 
  4. ↑ Euler, Leonhard. On the sums of series of reciprocals, 1735. 

Vegeu també

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Sinc Function» a MathWorld (en anglès).