Identitats de Green

A matemàtiques, les Identitats de Green són un conjunt de desigualtats en càlcul vectorial.[1] Anomenades així en honor del matemàtic George Green, el mateix que va descobrir el Teorema de Green.

Primera Identitat de Green

Aquesta identitat es deriva del Teorema de la divergència aplicat a un camp vectorial F = ψ ∇ φ {\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \varphi } .

Si ϕ {\displaystyle \phi } és una funció contínuament diferenciable de classe C 2 i ψ {\displaystyle \psi } és una altra funció contínuament diferenciable, però de classe C 1 en una regió U , aleshores:

∫ U ψ Δ φ d V = ∮ ∂ U ψ ( ∇ φ ⋅ n ) d S − ∫ U ( ∇ φ ⋅ ∇ ψ ) d V , {\displaystyle \int _{U}\psi \Delta \varphi \,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot n\right)\,dS-\int _{U}\left(\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV,}

on Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} és l'operador Laplaciana.

Segona Identitat de Green

Si ϕ {\displaystyle \phi } i ψ {\displaystyle \psi } són funcions contínuament diferenciables de classe C 2 les dues a U , aleshores:

∫ U ( ψ Δ φ − φ Δ ψ ) d V = ∮ ∂ U ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S . {\displaystyle \int _{U}\left(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)\,dS.}

Tercera Identitat de Green

La tercera identitat de Green s'obté a partir de la segona particularitzant la funció ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (y)} a:

φ ( i ) = 1 | x − i | {\displaystyle \varphi (i)={\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}}

En aquest cas, el·laplacià d' ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (y)} és:

Δ φ ( i ) = − 4 π δ ( x − i ) {\displaystyle \Delta \varphi (i)=-4\pi \delta \left(\mathbf {x} -i\right)}

La tercera identitat de Green diu que, si ψ {\displaystyle \psi } és una funció contínuament diferenciable de classe C 2 a U , aleshores:

∮ ∂ U [ 1 | x − i | ∂ ∂ n ψ ( i ) − ψ ( i ) ∂ ∂ n i 1 | x − i | ] d S i − ∫ U [ 1 | x − i | Δ ψ ( i ) ] d V i = k . {\displaystyle \oint _{\partial U}\left[{\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}{\frac {\partial }{\partial n}}\psi (\mathbf {i} )-\psi (\mathbf {i} ){\frac {\partial }{\partial n_{\mathbf {i} }}}{\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}\right]\,dS_{\mathbf {i} }-\int _{U}\left[{\frac {1}{|\mathbf {x} -i|}}\Delta \psi (\mathbf {i} )\right]\,dV_{\mathbf {i} }=k.}

On:

k = 4 π ψ ( x ) {\displaystyle k=4\pi \psi (x)} si x ∈ I n t ( U ) {\displaystyle x\in Int(U)} ,
k = 2 π ψ ( x ) {\displaystyle k=2\pi \psi (x)} si x ∈ ∂ U {\displaystyle x\in \partial U} i té un pla tangent a x {\displaystyle x}
k = 0 {\displaystyle k=0} a la resta de casos.

Referències

  1. ↑ W., Weisstein, Eric. «Green's Identities» (en anglès). [Consulta: 24 juliol 2018].

Vegeu també