Integral de Darboux

En càlcul, la integral de Darboux és una de les possibles definicions d'integral d'una funció. Les integrals de Darboux són equivalents a les integrals de Riemann, això significa que una funció és Darboux-integrable si i només si és Riemann-integrable, i els valors de les dues integrals, si existeixen, són iguals. Les integrals de Darboux tenen l'avantatge de què són més senzilles de definir que les de Riemann però tenen l'inconvenient de què no són tan fàcils d'aplicar a la integració numèrica. Les integrals de Darboux reben el nom en honor del seu descobridor, Gaston Darboux.

Definició

Una partició d'un interval [a,b] és una successió finita de valors x_i tal que

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.\,\!}$

Cada interval [x_i−1,x_i] es diu que és un subinterval de la partició. Un afinament de la partició

${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}\,\!}$

És una partició

${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}\,\!}$

Tal que per a cada i amb

${\displaystyle 0\leq i\leq n\,\!}$

Hi ha un enter r(i) tal que

${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.\,\!}$

En altres paraules, per a fer un afinament, es tallen els subintervals en bocins més petits i no s'elimina cap bocí.

Sia ƒ:[a,b]→R una funció afitada, i sia

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}$

Una partició de [a,b]. Sia

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

El sumatori de Darboux superior de ƒ respecte de P és

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1}).\,\!}$

El sumatori de Darboux inferior de ƒ respecte de P és

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1}).\,\!}$

La integral de Darboux superior de ƒ és

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ és una partició de }}[a,b]\}.\,\!}$

La integral de Darboux inferior de ƒ és

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ és una partició de }}[a,b]\}.\,\!}$

Si U_ƒ = L_ƒ, llavors es diu que ƒ és Darboux-integrable i s'estableix

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f},\,\!}$

El valor comú de les integrals superior i inferior de Darboux.

Fets relatius a la integral de Darboux

Si

${\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})\,\!}$

És un afinament de

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),\,\!}$

llavors

${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}\,\!}$

i

${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.\,\!}$

Si P₁, P₂ són dues particions del mateix interval (no cal que una sigui un afinament de l'altra), llavors

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}.\,\!}$.

D'aquí en resulta que

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.\,\!}$

Els sumatoris de Riemann queden sempre entremig dels corresponents sumatoris superior i inferior de Darboux. Formalment, si

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!}$

i

${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!}$

Són els valors arbitraris dins de cada subinterval

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!}$

(tal com es fan servir en els sumatoris de Riemann), i si el sumatori de Riemann de ƒ que correspon a P i T és R, llavors

${\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!}$.

A partir d'aquest fet, es pot afirmar que les integrals de Riemann són pel capdavall tan fortes com les integrals de Darboux: Si la integral de Darboux existeix, llavors els sumatoris de Darboux superior i inferior corresponents a una partició prou fina quedaran a prop del valor de la integral, per tant qualsevol sumatori de Riemann sobre la mateixa partició també estarà proper al valor de la integral. No és difícil de veure que hi ha una partició amb valors intermedis que es fa arbitràriament propera al valor de la integral de Darboux superior o inferior, i en conseqüència, si la integral de Riemann existeix, llavors la integral de Darboux també ha d'existir.

Vegeu també

• Integral regular
• Integral de Riemann
• Integral de Lebesgue
• Integral de Bochner