Límit

En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Límit d'una successió

Introducció

Les successions són les funcions amb domini de definició ℕ, o, a vegades ℤ (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a ${\displaystyle n\to +\infty }$; l'anomenarem «límit de la successió».

Definició, convergència, divergència

• Cas del límit finit ${\displaystyle l\in \mathbb {R} \,\!}$: per a tot «descart de tolerància» ${\displaystyle \epsilon >0\,\!}$ existeix un «enter de confidència» ${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} \,\!}$ tal que, per a tot n més gran que ${\displaystyle N_{0}\,\!}$, el valor ${\displaystyle u_{n}\,\!}$ és prop de l per a menys de ε: ${\displaystyle n\geq N_{0}\ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_{n}\leq l+\epsilon \,\!}$.

Quan existeix, el límit l és únic; s'escriu llavors ${\displaystyle \lim(u_{n})_{n}=l\,\!}$, i es diu que ${\displaystyle (u_{n})_{n}\,\!}$ tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

• Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) ${\displaystyle +\infty \,}$ i B) ${\displaystyle -\infty \,}$.

Per a cada « llindar de tolerància » ${\displaystyle M>0\,\!}$ cal que es pugui trobar un « enter de confidència » ${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} \,\!}$ a partir del qual els valors de ${\displaystyle \vert (u_{n})\vert \,}$ siguin superiors a ${\displaystyle M\,\!}$ i els ${\displaystyle (u_{n})\,}$ es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

• ${\displaystyle n\geq N_{0}\ \Rightarrow \vert u_{n}\vert \geq M\,\!}$ per a ${\displaystyle \lim(u_{n})=+\infty \,\!}$
• ${\displaystyle n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}\leq M\,\!}$ per a ${\displaystyle \lim(u_{n})=-\infty \,\!}$.

A més, en el cas A) ${\displaystyle n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}>0\,\!}$ i en el cas B) ${\displaystyle n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}<0\,\!}$.

Se diu llavors que ${\displaystyle (u_{n})\,\!}$ tendeix (o divergeix) a: A) ${\displaystyle +\infty \,\!}$, B) ${\displaystyle -\infty \,\!}$.

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit ${\displaystyle \infty \,\!}$ quan ${\displaystyle \lim {1 \over u_{n}}=0}$. Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on ${\displaystyle n\geq N_{0}\ \Rightarrow \vert u_{n}\vert \geq M\,\!}$ però els ${\displaystyle (u_{n})}$ poden canviar signe de manera arbitrària.

Sub-successions

Es parla de sub-successió de la successió ${\displaystyle (u_{n})\,\!}$ quan se seleccionen "només uns quants" elements de ${\displaystyle (u_{n})\,\!}$: així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions ${\displaystyle (u_{2n})\,\!}$ dels termes de rang parell, i ${\displaystyle (u_{2n+1})\,\!}$ dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació ${\displaystyle \phi \ :\ \mathbb {N} \to \mathbb {N} \,\!}$ estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma ${\displaystyle (u_{\phi (n)})\,\!}$.

Una propietat important és que una successió ${\displaystyle (u_{n})\,\!}$ admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió ${\displaystyle (u_{\phi (n)})\,\!}$ admet el mateix límit.

Linealitat del passatge al límit

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents i tals que lim x_n = L i lim y_n = P, llavors

• la successió (x_n + y_n) convergeix a L + P.
• Si a és un nombre real, llavors la successió (a x_n) convergeix a L.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (x_ny_n) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar ${\displaystyle N\in {\mathbb {N} }}$ tal que la successió (x_n/y_n), amb ${\displaystyle n\geq N}$ és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (x_n) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

Exemples

• La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
• La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
• La successió ${\displaystyle n\mapsto u(n):=(-1)^{n}=(-1,1,-1,1,...)}$ no és convergent, però les seves sub-successions ${\displaystyle n\mapsto u(2n)}$ i ${\displaystyle n\mapsto u(2n+1)}$ ho són.
• La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit ${\displaystyle \infty }$.
• La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
• Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general aⁿ té límit 0.
• Si a >0, llavors la successió de terme general a^1/n té límit igual a 1.
• La successió ${\displaystyle n\mapsto u(n):=(1+1/n)^{n}}$ convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió ${\displaystyle n\mapsto u(n):=(1+x/n)^{n}}$ convergeix a ${\displaystyle e^{x}}$.

Límits de funcions

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

Límit d'una funció a un punt a

Definició

Sigui ${\displaystyle f(x)\,\!}$ : ${\displaystyle \ R\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$ = ${\displaystyle \ l\in \mathbb {R} }$ ⇔ ∀ε>0, ∃ ${\displaystyle \ \delta }$ > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a- ${\displaystyle \ \delta }$,a) ∪ (a, a+${\displaystyle \ \delta }$)

Límits finits

Si ${\displaystyle \ f}$ és una funció real de variable real i ${\displaystyle \ a}$ un punt del domini de definició de f, es diu que ${\displaystyle \ l\in \mathbb {R} }$ és el límit de ${\displaystyle \ f}$ en ${\displaystyle \ a}$ si :

• intuïtivament, ${\displaystyle \ f(x)}$ s'acosta a ${\displaystyle \ l}$ en la mesura que ${\displaystyle \ x}$ s'acosta a ${\displaystyle \ a}$ ;
• amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » ${\displaystyle \ \epsilon >0}$ es pot trobar un « descart de confidència » ${\displaystyle \ \delta >0}$ tal que, quan ${\displaystyle \ x}$ és prop de ${\displaystyle \ a}$ a menys de ${\displaystyle \ \delta }$, llavors ${\displaystyle f(x)}$ és prop de ${\displaystyle \ l}$ a menys de ${\displaystyle \ \epsilon }$.

En símbols: ${\displaystyle a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon }$

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tant prop de ${\displaystyle l\,\!}$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de ${\displaystyle a\,\!}$.

En aquest cas, s'escriu ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=l\,\!}$.

Límits infinits

Pot també succeir que al punt ${\displaystyle a\,\!}$ la funció ${\displaystyle f\,\!}$ no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a ${\displaystyle a\,\!}$ el valor de ${\displaystyle f\,\!}$ "s'acosta" a ${\displaystyle +\infty \,\!}$ o a ${\displaystyle -\infty \,\!}$; és a dir, esdeven grand^{[Cal aclariment]} quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de ${\displaystyle +\infty \,\!}$) o negatiu (${\displaystyle -\infty \,\!}$).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » ${\displaystyle M>0\,\!}$ es pot trobar un « descart de confidència » ${\displaystyle \delta >0\,\!}$ tal que, dès que ${\displaystyle x\,\!}$ és prop de ${\displaystyle a\,\!}$ a menys de ${\displaystyle \delta \,\!}$, llavors ${\displaystyle \vert f(x)\vert \,\!}$ és major que ${\displaystyle M\,\!}$ i ${\displaystyle f\!}$ es manten de signe constant: ${\displaystyle a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M}$ i: ${\displaystyle f(x)>0}$ per al cas del límit ${\displaystyle +\infty }$, ${\displaystyle f(x)<0}$ per al cas del límit ${\displaystyle -\infty }$.

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tant prop de ${\displaystyle \pm \infty }$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de ${\displaystyle a\,\!}$.

En aquest cas s'escriu ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=+\infty \,\!}$ (o ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty \,\!}$).

Infinit sense signe

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit ${\displaystyle \infty \,\!}$, quan ${\displaystyle \lim _{x\to a}{1/f(x)}=0}$. Això resumeix els casos ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ i, a més, el cas on ${\displaystyle a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M}$ però ${\displaystyle f}$ pot canviar signe de manera arbitrària. Això no pot succeir per a funcions contínues en ${\displaystyle (a-\delta ,x)\bigcup (x,a+\delta )}$.

Límits per l'esquerra, per la dreta

Pot succeir també que el comportament local de la funció ${\displaystyle f\,\!}$ sigui different « per l'esquerra » de ${\displaystyle a\,\!}$ (és a dir per a les ${\displaystyle x<a\,\!}$) i « per la dreta » de ${\displaystyle a\,\!}$ (és a dir per a les ${\displaystyle x>a\,\!}$). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de ${\displaystyle f(x)\,\!}$ amb ${\displaystyle l\,\!}$ o ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ és demanada només per a un costat de ${\displaystyle a\,\!}$. Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

• per al límit per l'esquerra :

${\displaystyle \lim _{x\to a,x<a}f(x)=l,\!}$ quan

${\displaystyle a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a,x<a}f(x)=+\infty \,\!}$ quan

${\displaystyle a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ f(x)\geq M}$

• per al límit per la dreta :

${\displaystyle \lim _{x\to a,x>a}f(x)=l,\!}$ quan

${\displaystyle a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a,x>a}f(x)=+\infty \,\!}$ quan

${\displaystyle a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x)\geq M}$

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt ${\displaystyle a\,\!}$ si i només si té un límit per l'esquerra ${\displaystyle l_{e}\,\!}$ i un límit per la dreta ${\displaystyle l_{d}\,\!}$ i aquests són iguals : ${\displaystyle l_{g}=l_{d}\,\!}$

Límit d'una funció a l'infinit

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definició, sigui quan ${\displaystyle x\,\!}$ creix indefinidament (límit en ${\displaystyle +\infty }$), sigui quan ${\displaystyle x\,\!}$ decreix indefinidament (límit en ${\displaystyle -\infty }$).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en ${\displaystyle +\infty }$ són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en ${\displaystyle -\infty }$ són sempre uns límits per la dreta.

Límits finits

Direm que la funció ${\displaystyle f\,\!}$ admet el límit finit ${\displaystyle l\,\!}$ en ${\displaystyle +\infty }$ si${\displaystyle f(x)\,\!}$ s'acosta a ${\displaystyle l\,\!}$ en la mesura que ${\displaystyle x\,\!}$ esdeven més gran (o « tendeix a ${\displaystyle +\infty \,\!}$ »).

Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » ${\displaystyle \epsilon >0\,\!}$ es pot trobar una « llindar de confidència » ${\displaystyle M>0\,\!}$ després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre ${\displaystyle l\,\!}$ i radi ${\displaystyle \epsilon \,\!}$, és a dir: ${\displaystyle x\geq M\ \Rightarrow }$${\displaystyle \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon }$

En altres mots, es pot fer ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tant prop de ${\displaystyle l\,\!}$ que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=l\,\!}$.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en ${\displaystyle -\infty }$ : es diu que ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tendeix a ${\displaystyle l\,\!}$ quan ${\displaystyle x}$ tendeix a ${\displaystyle -\infty }$ si per a tot descart ${\displaystyle \epsilon >0\,\!}$ es pot trobar una llindar ${\displaystyle M<0\,\!}$ tal que: ${\displaystyle x\leq M\ }$${\displaystyle \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon }$, i s'escriurà ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=l\,\!}$.

Límits infinits

Direm que la funció ${\displaystyle f\,\!}$ admet el límit ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ en ${\displaystyle +\infty }$ si${\displaystyle \vert f(x)\vert \,\!}$ esdevé arbitràriament gran en la mesura que ${\displaystyle x\,\!}$ esdevé més gran (o « tendeix a ${\displaystyle +\infty \,\!}$ »). De més, ${\displaystyle f(x)\,\!}$ resta amb signe positiu (${\displaystyle +\infty \,\!}$) o negatiu (${\displaystyle -\infty \,\!}$) per a tals x. La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit ${\displaystyle \infty \,\!}$.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » ${\displaystyle K>0\,\!}$ es pot trobar un «llindar de confidència» ${\displaystyle M>0\,\!}$ després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir ${\displaystyle (K,+\infty )\,\!}$ (cas ${\displaystyle +\infty \,\!}$), ${\displaystyle (-\infty ,-K)\,\!}$ (cas ${\displaystyle -\infty \,\!}$) o ${\displaystyle (-\infty ,-K)\bigcup (K,+\infty )\,\!}$ (cas ${\displaystyle \infty \,\!}$).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tant prop de ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ (o ${\displaystyle \infty \,\!}$) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty \,\!}$ o ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty \,\!}$.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en ${\displaystyle -\infty }$ : direm que la funció ${\displaystyle f\,\!}$ admet el límit ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ en ${\displaystyle -\infty }$ si${\displaystyle \vert f(x)\vert \,\!}$ esdeven arbitràriament gran en la mesura que ${\displaystyle x\,\!}$ esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a ${\displaystyle -\infty \,\!}$ »). De més, ${\displaystyle f\,\!}$ resta amb signe positiu (${\displaystyle +\infty \,\!}$) o negatiu (${\displaystyle -\infty \,\!}$) per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit ${\displaystyle \infty \,\!}$.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » ${\displaystyle K>0\,\!}$ es pot trobar un « llindar de confidència » ${\displaystyle M<0\,\!}$ abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir ${\displaystyle (K,+\infty )\,\!}$ (cas ${\displaystyle +\infty \,\!}$), ${\displaystyle (-\infty ,-K)\,\!}$ (cas ${\displaystyle -\infty \,\!}$) o ${\displaystyle (-\infty ,-K)\bigcup (K,+\infty )\,\!}$ (cas ${\displaystyle \infty \,\!}$).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer ${\displaystyle f(x)\,\!}$ tant prop de ${\displaystyle \pm \infty \,\!}$ (o ${\displaystyle \infty \,\!}$) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty \,\!}$ o ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty \,\!}$.

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x₀ un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o ${\displaystyle \pm \infty }$.

• Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
• Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x₀, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x₀ és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x₀ on f/g està ben definida; el seu límit a x₀ és L/P.

Exemples

• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ quan x tendeix a ${\displaystyle \pm \infty }$ és igual a 0.

Clau de la demostració per a ${\displaystyle +\infty }$: si ${\displaystyle x\geq M}$, llavors ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\leq 1/M}$.

• El límit per la dreta de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ quan x tendeix a 0 (0⁺) és ${\displaystyle +\infty }$.

Clau de la demostració: si ${\displaystyle 0<x\leq \delta }$, llavors ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{\delta }}}$.

• El límit per l'esquerra de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ quan x tendeix a 0 (0^-) és ${\displaystyle -\infty }$.
• El límit (bilateral) de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ quan x tendeix a 0 és ${\displaystyle \infty }$ sense signe, és a dir ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{1/x}}}$ tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que ${\displaystyle {\frac {1}{1/x}}=x}$. Recordeu que

${\displaystyle \infty }$ sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

• El límit de ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).

Clau de la demostració: si ${\displaystyle 2\leq x\leq 4}$, llavors ${\displaystyle \vert x^{2}-9\vert =\vert (x+3)\vert \cdot \vert (x-3)\vert \leq 7\cdot \vert (x-3)\vert }$.

• El límit de ${\displaystyle x\mapsto \vert x\vert ^{\vert x\vert }}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {(a+x)^{2}-a^{2}}{x}}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
• El límit per la dreta de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\vert x\vert }{x}}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\cos(x)-1}{x}}}$ quan x tendeix a 0 és igual a 0.
• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\cos(x)-1}{x^{2}}}}$ quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}+\vert x\vert ^{\vert x\vert }}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2.
• El límit de ${\displaystyle x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}\cdot \vert x\vert ^{\vert x\vert }}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.

Lligam entre els límits de successions i de funcions

Es pot provar que ${\displaystyle \lim _{x\to +x_{0}}f(x)=y_{0}\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(u_{n})=y_{0}}$ per a cada successió ${\displaystyle \left\{u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ tal que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=x_{0}}$, és a dir per a cada successió convergent a ${\displaystyle x_{0}}$.

Vegeu també

• Teorema del límit central
• Mètodes infinitesimals
• Convergència uniforme
• Indeterminació (límit)

Bibliografia

Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7. 

Viccionari