Nombres primers de Gauss

En matemàtiques i més precisament en àlgebra, un nombre primer de Gauss és una noció de teoria algebraica dels nombres relacionada amb els enters de Gauss.

Un nombre primer de Gauss correspon al concepte de nombre primer a l'anell dels enters de Gauss.

Els nombres primers de Gauss es fan servir per a la resolució d'equacions diofàntiques com el teorema dels dos quadrats de Fermat o per establir resultats teòrics com la llei de reciprocitat quadràtica.

Motivació

El 1801 al seu llibre Recerques aritmètiques Carl Friedrich Gauss desenvolupà l'aritmètica sobre altres anells diferents del dels enters. Va fer servir en particular l'anell dels polinomis amb coeficients en un cos i el conjunt dels enters que porten el seu nom. Un enter de Gauss és un nombre complex tal que les seves parts real i imaginària són enteres.

El conjunt dels enters de Gauss és un anell euclidià i per tant és un anell factorial. Sobre aquest conjunt es desenvolupa una aritmètica modular, de forma anàloga a la de l'anell Z/nZ. Un coneixement fi de la seva estructura requereix la comprensió dels nombres primers de Gauss. Amb aquesta estructura també s'aplica el teorema fonamental de l'aritmètica.

Definició i exemples

• Un enter de Gauss s'anomena nombre primer de Gauss o irreductible si, i només si, els únics divisors d'aquest enter són les unitats o el producte del nombre per una unitat.

Al primer cop d'ull és una mica desconcertant. Certs nombres primer en Z no són pas nombres primers de Gauss:

${\displaystyle 2=(1+i)(1-i){\mbox{ i }}5=(2+i)(2-i)\,\!}$

En canvi, 2 + i o 3 són irreductibles. És relativament senzill caracteritzar els nombres primers de Gauss. És el que es farà en la propera secció.

Propietats

Una noció útil per a l'anàlisi dels enters de Gauss és la norma aritmètica. Es defineix com la suma dels quadrats de les seves parts real i imaginària. Té valor en el conjunt dels enters positius i és multiplicativa: dos enters qualsevol x i y verifiquen la igualtat N(x.y) = N(x).N(y). La figura de dreta il·lustra aquesta propietat. La norma s'indica pel cercle blau, en l'exemple la norma de x és igual a dos, la de y cinc i el producte té una norma de deu.

Algunes proposicions permeten caracteritzar els enters irreductibles:

• Si la norma d'un enter de Gauss és igual a un nombre primer, llavors és un nombre primer de Gauss.

En efecte, si u i v són dos divisors d'un enter de Gauss a, llavors N(a) = N(u).N(v). En conseqüència com que la norma de a és un nombre primer, o bé u o bé v ha de tenir una norma igual a 1.

El recíproc no és cert, per exemple 3 és un enter de Gauss sense divisor diferent d'ell mateix i 1 al grup de les unitats, tanmateix la seva norma és igual a 9.

Existeix una condició necessària i suficient senzilla per caracteritzar els nombres primers de Gauss:

• Un nombre natural és primer (o irreductible) en el sentit dels enters de Gauss si i només si no és suma de dos quadrats.

Aquesta condició permet caracteritzar amb precisió els nombres irreductibles:

• Un enter de Gauss és irreductible si i només si es dona una de les dues configuracions següents:

la seva norma és un nombre primer i aquest nombre primer és congruent amb 1 mòdul 4;

la seva norma és el quadrat d'un nombre primer congruent amb 3 mòdul 4 i en aquest cas, o la seva part real, o la seva part imaginària és nul·la.

Demostració

:* Un nombre natural és primer (o irreductible) en el sentit dels enters de Gauss si i només si no és suma de dos quadrats.

Sigui p un nombre primer, suposant que és suma de dos quadrats:

${\displaystyle \exists a,b\in \mathbb {Z} \quad p=a^{2}+b^{2}=(a+i.b)(a-i.b)}$

Llavors p admet dos divisors no unitaris ja que tenen norma igual a p.

Suposant que no sigui irreductible, llavors existeixen dos enters de Gauss α i β no unitaris tals que p = α.β i com que la norma de p és igual a p² la norma de α i la de β són totes dues iguals a p (donat que p és un nombre primer i no hi ha altres nombres enters que multiplicats donin p²). La norma és suma de dos quadrats, amb això es completa la demostració.

• Un nombre primer p senar és suma de dos quadrats si i només si és congruent amb 1 mòdul 4.

La demostració es farà a l'article Teorema dels dos quadrats de Fermat

• Un enter n és suma de dos quadrats d'enters si i només si en la seva descomposició en factors primers, els nombres primers congruents amb tres mòdul 4 figuren elevats a una potència parell.

La demostració es donarà a l'article sobre la generalització en tots els enters del teorema dels dos quadrats de Fermat.

• Condició necessària i suficient perquè un enter n sigui irreductible:

Cas on N(x) és primer:

Llavors x és primer i perquè un nombre primer superior a 3 sigui una norma, cal i n'hi ha prou que sigui congruent amb 1 mòdul 4.

Cas on N(x) és el quadrat d'un nombre primer p congruent amb 3 mòdul 4:

Sigui u i v una descomposició en dos factors de x. Llavors si la norma de u és diferent d'1, com que no pot ser igual a p ja que tal valor no és una norma, és igual a la norma de x. Se'n dedueix que x és irreductible.

A més, N(x) no és suma de dos quadrats tret que cadascun dels membres sigui un múltiple de p². Això demostra que o bé la part real, o bé la part imaginària és nul·la.

Cas on existeix un factor primer congruent amb 3 mòdul 4 elevat a una potència senar:

Tal factor no és suma de dos quadrats, no existeix per tant cap enter de Gauss que tingui aquest valor per a norma.

Cas on N(x) és una suma de dos quadrats, no primera i no quadrat d'un nombre primer p congruent amb 3 mòdul 4.

Es demostra per reducció a l'absurd que x no és irreductible. Se suposa que ho sigui i es troba una contradicció. N(x) és el producte de dues sumes de dos quadrats cadascuna diferent d'1 (és una conseqüència de la demostració del cas general del teorema dels dos quadrats. Existeixen per tant u i v tals que N(x) = N(u.v). Se'n dedueix que:

${\displaystyle x.{\bar {x}}=(u.v).({\bar {u}}.{\bar {v}})\;}$ Si x és irreductible llavors x divideix un dels factors de la dreta, per exemple u.v. i existeix un enter tal que α.x = u.v. Com que la norma de x és igual a la de u.v, la norma de α és igual a 1 i és una unitat. Se'n dedueix que x = α^-1u.v. El que prova que x no és pas irreductible el que és una contradicció i la demostració queda completada.

Vegeu també

Enters de Gauss

Enllaços externs

• (francès) Entier de Gauss Vincent Lefèvre
• (anglès) Applet de factorització dels enters de Gauss
• (francès) Théorie algébrique des nombres Arxivat 2007-04-11 a Wayback Machine. Bas Hedixhoven Université de Rennes 1 2002

Referències

S. Lang Algebre Dunod 2004

P. Samuel Théorie algébrique des nombres Hermann Paris 1971

J-P Serre Cours d'arithmétique Presses Universitaires de France Paris 1977