Ona de Bloch

Una ona de Bloch o estat de Bloch (anomenat en honor de Felix Bloch) és la funció d'ona d'una partícula (normalment un electró) col·locada en un potencial periòdic. El teorema de Bloch postula que l'autofunció d'energia de tal sistema es pot escriure com el producte d'una funció d'ona plana i una funció periòdica (funció periòdica de Bloch) ${\displaystyle \,u_{n\mathbf {k} }(r)}$ que té la mateixa periodicitat que el potencial:

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

Els autovalors d'energia corresponents són ϵ_n(k) = ϵ_n(k + K), periòdic amb una periodicitat K d'un vector de xarxa recíproca. Les energies associades amb l'índex n varien contínuament amb el vector d'ona k i formen una banda d'energia identificada per un índex de banda n. Els autovalors per una n donada són periòdics en k; tots els valors diferents de ϵ_n(k) ocorren per k-valors dins de la primera zona de Brillouin de la xarxa recíproca.

De fet, el teorema de Bloch és una conseqüència directa de la simetria translacional dels cristalls, la qual cosa significa que el cristall és invariant sota un moviment translacional ${\displaystyle \mathbf {r} \!}$ de la forma ${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a_{i}} \!}$, on ${\displaystyle n_{i}\!}$ són enters i ${\displaystyle \mathbf {a_{i}} \!}$ són els vectors de xarxa primitius. Si ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {r} }\!}$ denota l'operació de translació que pot ser aplicada a una funció d'ona en la direcció de la forma ${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a_{i}} \!}$, on ${\displaystyle n_{i}\!}$ són enters, es pot veure que l'operació forma un grup amb la mateixa llei de combinació que ${\displaystyle \mathbf {r} \!}$. Com que el sistema cristal·lí –i, per tant, el seu hamiltonià– és invariant després de tals translacions, l'operador de translació ha de ser commutatiu amb l'operador hamiltonià, per la qual cosa poden ser diagonalitzats simultàniament. D'aquesta manera, cada funció pròpia del hamiltonià pot ser una funció pròpia de l'operador de translació. Per mantenir la funció d'ona normalitzada de manera correcta, l'autovalor per a l'operador de translació ha de ser de la forma ${\displaystyle e^{i\theta (\mathbf {r} )}\!}$, on ${\displaystyle \theta (\mathbf {r} )\!}$ és una funció del vector de translació ${\displaystyle \mathbf {r} \!}$. Aplicant aquestes dues translacions ${\displaystyle \mathbf {r_{1}} \!}$ i ${\displaystyle \mathbf {r_{2}} \!}$ consecutivament a una funció d'ona, es pot mostrar ${\displaystyle \theta (\mathbf {r_{1}} +\mathbf {r_{2}} )=\theta (\mathbf {r_{1}} )+\theta (\mathbf {r_{2}} )\!}$. Per tant, la funció ${\displaystyle \theta \!}$ es pot escriure com el producte escalar dels vectors de translació ${\displaystyle \mathbf {r} \!}$ i un vector ${\displaystyle \mathbf {k} \!}$ a causa de la linealitat de ${\displaystyle \theta \!}$. En aquesta línia s'ha deduït que una funció pròpia de l'operador hamiltonià d'un sistema amb simetria translacional discreta (tal com un cristall) és sempre una funció pròpia dels operadors de translació discrets simètrics ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {r} }\!}$ amb l'autovalor ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\!}$. En altres paraules, cada autovalor del hamiltonià forma la base per una representació unidimensional del grup d'operacions de translació especificades per la xarxa de Bravais i el vector ${\displaystyle \mathbf {k} \!}$ es pot considerar una etiqueta per la representació irreductible.

Vegeu també

• Teoria de bandes
• Òptica de Fourier

Bibliografia

• Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics (en anglès). Nova York: Wiley, 1996. ISBN 0471142867. 
• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin. Solid State Physics (en anglès). Orlando: Harcourt, 1976. ISBN 0030493463. 
• Felix Bloch «Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern» (en anglès). Z. Physik, 52, 1928, pàg. 555–600. Bibcode: 1929ZPhy...52..555B. DOI: 10.1007/BF01339455.
• George William Hill «On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon» (en anglès). Acta Math., 8, 1886, pàg. 1–36. DOI: 10.1007/BF02417081. This work was initially published and distributed privately in 1877.
• Floquet, Gaston «Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques» (en anglès). Ann. École Norm. Sup., 12, 1883, pàg. 47–88.
• Alexander Mihailovich Lyapunov. The General Problem of the Stability of Motion (en anglès). Londres: Taylor and Francis, 1992.  Translated by A. T. Fuller from Edouard Davaux's French translation (1907) of the original Russian dissertation (1892).
• H. Föll. «Periodic Potentials and Bloch's Theorem – lectures in "Semiconductors I"» (en anglès). The University of Kiel.
• M.S.P. Eastham. The Spectral Theory of Periodic Differential Equations (en anglès). Edimburg: Scottish Academic Press, 1973 (Texts in Mathematics).