Relació d'ordre

Sigui ${\displaystyle A\,}$ un conjunt qualsevol. Una relació en ${\displaystyle A\,}$ és un criteri que ens permet dir si dos elements qualssevol de ${\displaystyle A\,}$, satisfan la relació o no. Una relació és relació d'ordre si compleix les propietats reflexiva, antisimètrica i transitiva.

La relació d'ordre a un conjunt ${\displaystyle A\,}$ fa que aquest sigui un conjunt ordenat, de vegades dit parcialment ordenat, per remarcar que no compleix la relació de totalitat.

Els conjunts parcialment ordenats per una relació binària que a més és total, es diuen conjunts totalment ordenats.

Definicions

Definició de relació d'ordre

Una relació d'ordre ${\displaystyle \sim \,}$ en un conjunt ${\displaystyle A\,}$ és una relació que, ${\displaystyle \forall a,b,c\in A\,}$ compleix les següents propietats:

• Propietat reflexiva: ${\displaystyle \forall a\in A,a\sim a\,}$.
• Propietat antisimètrica: ${\displaystyle a\sim b\ \land b\sim a\ \Longrightarrow a=b,}$.
• Propietat transitiva:${\displaystyle a\sim b,b\sim c\Longrightarrow a\sim c\,}$.

Definició de relació d'ordre total

Una relació d'ordre total ${\displaystyle \sim \,}$ en un conjunt ${\displaystyle A\,}$ és una relació que és d'ordre i que compleix la propietat de totalitat d'una relació binària:

• Propietat de totalitat: ${\displaystyle \forall a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\sim a_{2}\ \lor a_{2}\sim a_{1}\,}$.

Exemples

• La relació de divisibilitat | en el conjunt ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dels nombres naturals és una relació d'ordre: n|m si la divisió de n entre m té residu 0. Clarament és reflexiva, antisimètrica i transitiva.

• La relació d'igualtat entre els elements d'un conjunt també és una relació d'ordre (no total si el conjunt té almenys dos elements).

• La relació a≤b és una relació d'ordre total pels conjunts dels naturals ℕ, enters ℤ, racionals, ℚ, i reals ℝ. També és d'ordre total la relació ≤, com es pot comprovar fàcilment.

Elements notables dels conjunts ordenats

Als conjunts ordenats es poden definir una sèrie d'elements amb propietats particulars. L'element mínim és un exemple: a serà element mínim de ${\displaystyle A\ }$ si es verifica que ${\displaystyle \forall b\in A\,a\leq b}$.

L'element màxim es defineix igualment: a serà element màxim de ${\displaystyle A\ }$ si es verifica que ${\displaystyle \forall b\in A\,a\geq b}$.

Història

Els conjunts ordenats apareixen a moltes branques de les matemàtiques. Tot i així, no es troben referències explícites fins al segle xix. George Boole fou el més important, juntament amb Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind, i Ernst Schröder, que desenvoluparen diferents aspectes teòrics.

Vegeu també

• Relació
• Funcions i aplicacions
• Estructura algebraica